热门试卷

（1）由题设知F1（-，0），F2（，0），其中a＞

由于•=0，则有⊥，所以点A的坐标为（，±）

故AF1所在直线方程为y=±（+），所以坐标原点O到直线AF1的距离为，

又|OF1|=，所以=|=，解得：a=2．

∴所求椭圆的方程为+=1．

（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），故M（0，k）．

设Q（x1，y1），由于Q，F，三点共线，且|MQ|=|2QF|．

根据题意得（x1，y1-k）=±2（x1+1，y1），解得或

又Q在椭圆C上，故+=1或+=1，

解得k=0，k=±4，综上，直线的斜率为0或±4

（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，

△AF1F2为正三角形且周长为6，

∴，解得c=1，a=2，b2=4-1=3，

∴椭圆C的标准方程为+=1．

（2）设直线AB的方程为y=-x+p，设A（x1，y1）B（x2，y2）

由 ，得7x2-8px+4p2-12=0

∵△=64p2-28（4p2-12）＞0，

∴-＜n＜

∵x1+x2=，x1x2=，

设A．B的中点C（x0，y0），

则 x0=，y0=p，

点C在l：y=-x+p上

∴p=3m，即-＜3m＜，得-＜m＜．

∴实数m的取值范围是（-，）．

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0，

∵△＞0，∴3+4k2-m2＞0，

x1+x2=-，x1x2=，

∴y1y2=，

∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴kAD•kBD=-1，

∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，

∴m1=-2k，m2=-k，且均满足3+4k2-m2＞0，

当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾

当m1=-时，l的方程为y=k（x-），则直线过定点（ ，0）

∴直线l过定点，定点坐标为（，0）．

（1）设椭圆C的方程为+=1 (a＞b＞0)，

则由已知得：c=， =

∴b2=1，a2=b2+c2=4

∴+y2=1为所求．

（2）由椭圆方程知：e=，设A（x1，y1），B（x2，y2）

则|AF2|=a-ex1=2-x1，

|BF2|=a-ex2=2-x2，

由3|AF2|=|BF2|

得3(2-x1)=2-x2，

∴3x1-x2=    ①

又F2分所成的比λ=3

∴=，即3x1+x2=4   ②

由①，②得：x1=，x2=，

∴B(，-)

∴ℓ：y=(x-)

即x-y-=0．

（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，

依题意可得：，

解得：a2=3，b=1，

∴椭圆的方程为+y2=1．

（2）假设存在这样的值．

，

得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0…①，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

则…②

而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），

当且仅当CE⊥DE时，

则y1x1+y2x2+1=-1，

即y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，

∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x1）+5=0…③

将②代入③整理得k=，

经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．