热门试卷

（Ⅰ）依题意得解之得从而b=．

∴椭圆方程为+=1．                                          …（4分）

（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m），

联立方程得消去y得（3+4k2）x2-8mk2x+4k2m2-12=0，…（6分）

∵△=64m2k4-16（k2m2-3）（3+4k2）=48k2（4-m2）+144＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），N（n，0），

则x1+x2=，x1x2=，（*）

因为直线NA与NB的倾斜角互补等价于kNA+kNB=0，…（8分）

所以+=0，即+=0，…（9分）

即2x1x2-（m+n）（x1+x2）+2mn=0，

将（*）式代入上式得-+2mn=0，

整理得mn=4，∵m≠0，∴n=，所以，N点存在，且坐标为(，0)，

因此，存在点N(，0)使得直线NA与NB的倾斜角互补．      …（12分）

（1）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得c=1．…（1分）

由题意焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项，得4c=2a，∴a=2

∴b2=a2-c2=3．…（4分）

故椭圆C的方程为 +=1．…（6分）

（2）当MN⊥x轴时，显然y0=0．…（7分）

当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．

代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k2）x2-8k2 x+4（k2-3）=0．…（9分）

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则x1+x2=．…（10分）

所以x3=，y3=k（x3-1）=，

∴线段MN的垂直平分线方程为y+=-（x-）．

在上述方程中令x=0，得y0==．…（12分）

当k＜0时，+4k≤-4；当k＞0时，+4k≥4．

所以-≤y0＜0，或0＜y0≤．…（13分）

综上，y0的取值范围是[-，]．…（14分）

（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，

∴

∴b=

∴椭圆C的方程为+=1；

（Ⅱ）直线y=k（x-1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴|MN|=×=

∵A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离为d=

∴△AMN的面积S=|MN|d=

∵△AMN的面积为，

∴=

∴k=±1．

（Ⅰ）依题设A1（-a，0），A2（a，0），则=(-a-1，0)，=(a-1，0)．

由•=-1，得：（-a-1）（a-1）=-1，解得a2=2，又c=1，所以b2=1．

所以椭圆C的方程为+y2=1．

（Ⅱ）椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形．

事实上，依题直线l的方程为y=k（x-1）．

联立，得：（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），

则x1+x2=，x1x2=，

所以x0==，y0=k(x0-1)=k(-1)=，

所以M(，)．

则直线MD的方程为y+=-(x-)，

令y=0，得xD=，则D(，0)．

若四边形ADBE为菱形，则xE+xD=2x0，所以xE=2x0-xD=-=．

yE+yD=2y0，所以yE=2y0-yD=．

所以E(，)．

若点E在椭圆C上，则()2+2()2=2．

即9k4+8k2=2（2k2+1）2

整理得k4=2，解得k2=．

所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．

此时点E到y轴的距离为==．