椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．

（1）证明：a2＞；

（2）若=2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

正确答案

（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=y-1．

并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2-6ky+3k2-k2a2=0 ①

∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2-4（3+k2）（3k2-k2a2）＞0，

∴a2＞．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由①，得y1+y2=，②

∵=2，而点C（-1，0），

∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2），

得y1=-2y2代入②，得y2=，③

∴△OAB的面积 S=|OC|•|y2-y1|=|y2|=≤=，当且仅当k2=3，即k=±时取等号．

把k的值代人③可得y2=±，

将及这两组值分别代入①，均可解出a2=15．

∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15．

题型：简答题

简答题

已知A(4，)，B(x1，y1)，C(x2，y2)三点在椭圆+=1上，△ABC的重心与此椭圆的右焦点F（3，0）重合

（1）求椭圆方程

（2）求BC的方程．

正确答案

（1）由题意：⇒，故椭圆方程为：+=1

（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），由题意有：=3，=0，故x1+x2=5，y1+y2=-，又+=1，+=1，两式作差可得：+=0．

即：kBC==-•=，

故直线BC的方程为：y-=(x-)，

即：40x-30y-136=0．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的中心在原点，左焦点为(-，0)，离心率为．设直线l与椭圆C有且只有一个公共点P，记点P在第一象限时直线l与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量=+．

求：

（I）椭圆C的方程；

（II）||的最小值及此时直线l的方程．

正确答案

（Ⅰ）由题意，∵左焦点为(-，0)，离心率为，

∴c=，e==，

∴a=2，于是b2=1，由于焦点在x轴上，故椭圆C的方程为+y2=1…（5分）

（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），A(-，0)，B(0，m)

消去y得：(+k2)x2+2kmx+m2-1=0…（7分）

∵直线l与曲线C有且只有一个公共点，∴△=4k2m2-（1+4k2）（m2-1）=0

即m2=4k2+1①…（9分）

∵=+

∴||=②…（11分）

将①式代入②得：||=≥=3

当且仅当k=-时，等号成立，故||min=3，

此时直线方程为：x+2y-2=0．…（14分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1 (a＞b＞0)与过点A（2，0），B（0，1）的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=，求椭圆方程．

正确答案

由题意可得：直线l的方程为：y=-x+1，

因为椭圆的离心率e=，

所以=⇒a2=4b2①

联立直线与椭圆的方程可得：(b2+a2)x2-a2x+a2-a2b2=0，

因为椭圆与直线l有且只有一个公共点，

所以=a4-（4b2+a2）（a2-a2b2）=0，即a2=4-4b2②

由①②得：a2=2，b2=，

所以椭圆E方程为+=1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆G：+=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆G上，且PF1⊥F1F2，且|PF1|=，|PF2|=，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△PAB的面积．

正确答案

（1）∵椭圆G：+=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆G上，

且PF1⊥F1F2，且|PF1|=，|PF2|=，

∴|F1F2|==4，∴c=2，

2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，

又∵b2=a2-c2=4，

所以椭圆G的方程为+=1．

（2）设直线l的方程为y=x+m．

由，得4+6mx+3-12=0．

设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），

AB中点为E（x0，y0），

则x0==-，y0=x0+m=，

因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．

所以PE的斜率k==-1．

解得m=2．

此时方程①为4+12x=0．解得x1=-3，x2=0．

所以y1=-1，y2=2．所以|AB|=3．

此时，点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离d==，

所以△PAB的面积S=|AB|•d=．

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