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题型:简答题
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简答题

设离心率e=的椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和直线x+y+3=0相切,过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C.

(Ⅰ)求椭圆M的方程;

(Ⅱ)若相异两点A、B关于x轴对称,直线BC交x轴与点Q,求的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N,

∴|NF1|=a,∵e=,∴a=2c,

∴∠NF1P=,|PF1|=2a.

∴F2(c,0)是以|PF1|为直径的圆的圆心,

∵该圆和直线x+y+3=0相切,

∴2c=,解得c=1,a=2,b=

∴椭圆M的方程为:+=1.

(Ⅱ)设点A(x1,y1),C(x2,y2),则点B(x1,-y1),

设直线PA的方程为y=k(x-3),

联立方程组,消掉y,化简整理得(4k2+3)x2-24k2x+36k2-12=0,

由△=(24k22-4•(3+4k2)•(36k2-12)>0,得0<k2

则x1+x2=,x1x2=

直线BC的方程为:y+y1=(x-x1),

令y=0,则x====

∴Q点坐标为(,0).

=(x1-)(x2-)+y1y2=(x1-)(x2-)+k2(x1-3)(x2-3)

=(1+k2)x1x2-(3k2+)(x1+x2)+9k2+

=(1+k2)•-(3k2+)•+9k2+

=+=-

∵0<k2

∈(-).

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简答题

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆短轴长为

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.

①若线段AB中点的横坐标为-,求斜率k的值;

②若点M(-,0),求证:为定值.

正确答案

(Ⅰ)因为+=1(a>b>0)满足a2=b2+c2①,

=②,2b=③.联立①②③,

解得a2=5,b2=

所以椭圆方程为+=1.

(Ⅱ)(1)将y=k(x+1)代入+=1中,得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,

△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0,x1+x2=-

因为AB中点的横坐标为-,所以-=-,解得k=±

(2)由(1)知x1+x2=-,x1x2=

所以=(x1+,y1)(x2+,y2)=(x1+)(x2+)+y1y2

=(x1+)(x2+)+k2(x1+1)(x2+1)

=(1+k2)x1x2+(+k2)(x1+x2)++k2

=(1+k2+(+k2)(-)++k2=

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简答题

已知椭圆Γ的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+y-=0与椭圆Γ交于A、B两点,|AB|=2,且∠AOB=

(1)求椭圆Γ的方程;

(2)若M、N是椭圆Γ上的两点,且满足=0,求|MN|的最小值.

正确答案

(1)依题意,设直线l:x+y=与椭圆Γ:+=1交于A(x1,y1),B(x2,y2),

由∠AOB=,知x1x2+y1y2=0,而x1=(1-y1),x2=(1-y2),代入上式得到:4y1y2-3(y1+y2)+3=0①

由|AB|=2知:|y1-y2|=2,即|y1-y2|=1,

不妨设y1>y2,则y2=y1+1,②

将②式代入①式求得:

∴A(),B(-)或A(,0),B(0,1),

又A(),B(-)不合题意,舍去.

∴A(,0),B(0,1),

故所求椭圆Γ的方程为+y2=1.

(2)由题意知M、N是椭圆+y2=1上的两点,且OM⊥ON,

故设M(r1cosθ,r1sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ),

于是r12+sin2θ)=1,r22+cos2θ)=1,

又(r12+r22)(+)=2++≥4,

从而|MN|2≥4,即|MN|≥

故所求|MN|的最小值为

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简答题

定长等于2的线段AB的两个端点分别在直线y=x和y=-x上滑动,线段AB中点M的轨迹为C;

(Ⅰ)求轨迹C的方程;

(Ⅱ)设过点(0,1)的直线l与轨迹C交于P,Q两点,问:在y轴上是否存在定点T,使得不论l如何转动,为定值.

正确答案

(Ⅰ)设M(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2),

则x1+x2=2x,x1-x2=,代入|AB|==2

得轨迹C的方程为+6x2=24,即+=1;

(Ⅱ)(1)若l不与y轴重合,设直线l方程为y=kx+1,代入椭圆C的方程得(4k2+9)x2+8kx-32=0,

设P(x3,kx3+1),Q(x4,kx4+1),

则x3+x4=-,x3•x4=-

设点T(0,t),则=x3•x4+(kx3+1-t)•(kx4+1-t)

=(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2

=

=

使为定值,则 =

解得t=,即对于点T(0,)总有=

(2)当l与y轴重合时,P(0,3),Q(0,-3),对于点T(0,)也有=

故在y轴上存在定点T(0,)使得为定值.

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简答题

设F1、F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点,椭圆C上一点P(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4.又直线l:y=x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B,O为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若直线l经过点F1,求△ABF2的面积;

(Ⅲ)求 • 的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)由题设可知,椭圆的焦点在x轴上,且2a=4,即a=2.            (1分)

又点A(1,)在椭圆上,∴+=1,解得b2=3.(2分)

∴椭圆C的标准方程是+=1.                                          (3分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,c2=a2-b2=1,即c=1,

∴F1、F2两点的坐标分别为(-1,0)、(1,0).                                    (4分)

∵直线l:y=x+m经过点F1(-1,0),

∴0=×(-1)+m,∴m=.                                               (5分)

设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由题意,有

,消去x,整理得16y2-12y-9=0,

∴y1+y2=,y1y2=-.                                                (6分)

设△ABF2的面积为SABF2,则

SABF2=|F1F2||y2-y1|=×2==

(Ⅲ)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由题意,有

,消去y,整理得x2+mx+m2-3=0  ①

x1+x2=-m,x1x2=m2-3.

∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+(x1+x2)m+m2=(m2-3)+(-m)m+m2=m2-.                                      (10分)

=x1x2+y1y2=m2-3+m2-=m2-,(11分)

又由①得,△=m2-4(m2-3)=-3m2+12,

∵A、B为不同的点,∴△>0,∴0≤m2<4.     

∴-

的取值范围是[-).                                          (14分)

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