- 椭圆的标准方程及图象
- 共1400题
设离心率e=的椭圆M:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和直线x+
y+3=0相切,过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若相异两点A、B关于x轴对称,直线BC交x轴与点Q,求•
的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N,
∴|NF1|=a,∵e=,∴a=2c,
∴∠NF1P=,|PF1|=2a.
∴F2(c,0)是以|PF1|为直径的圆的圆心,
∵该圆和直线x+y+3=0相切,
∴2c=,解得c=1,a=2,b=
,
∴椭圆M的方程为:+
=1.
(Ⅱ)设点A(x1,y1),C(x2,y2),则点B(x1,-y1),
设直线PA的方程为y=k(x-3),
联立方程组,消掉y,化简整理得(4k2+3)x2-24k2x+36k2-12=0,
由△=(24k2)2-4•(3+4k2)•(36k2-12)>0,得0<k2<.
则x1+x2=,x1x2=
.
直线BC的方程为:y+y1=(x-x1),
令y=0,则x==
=
=
.
∴Q点坐标为(,0).
•
=(x1-
)(x2-
)+y1y2=(x1-
)(x2-
)+k2(x1-3)(x2-3)
=(1+k2)x1x2-(3k2+)(x1+x2)+9k2+
=(1+k2)•-(3k2+
)•
+9k2+
=+
=
-
.
∵0<k2<,
∴•
∈(-
,
).
已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为
,椭圆短轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的横坐标为-,求斜率k的值;
②若点M(-,0),求证:
•
为定值.
正确答案
(Ⅰ)因为+
=1(a>b>0)满足a2=b2+c2①,
由=
②,2b=
③.联立①②③,
解得a2=5,b2=,
所以椭圆方程为+
=1.
(Ⅱ)(1)将y=k(x+1)代入+
=1中,得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,
△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0,x1+x2=-,
因为AB中点的横坐标为-,所以-
=-
,解得k=±
,
(2)由(1)知x1+x2=-,x1x2=
,
所以•
=(x1+
,y1)(x2+
,y2)=(x1+
)(x2+
)+y1y2
=(x1+)(x2+
)+k2(x1+1)(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(+k2)(x1+x2)+
+k2
=(1+k2)+(
+k2)(-
)+
+k2=
;
已知椭圆Γ的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+y-
=0与椭圆Γ交于A、B两点,|AB|=2,且∠AOB=
.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)若M、N是椭圆Γ上的两点,且满足•
=0,求|MN|的最小值.
正确答案
(1)依题意,设直线l:x+y=
与椭圆Γ:
+
=1交于A(x1,y1),B(x2,y2),
由∠AOB=,知x1x2+y1y2=0,而x1=
(1-y1),x2=
(1-y2),代入上式得到:4y1y2-3(y1+y2)+3=0①
由|AB|=2知:|y1-y2|=2,即|y1-y2|=1,
不妨设y1>y2,则y2=y1+1,②
将②式代入①式求得:或
,
∴A(,
),B(-
,
)或A(
,0),B(0,1),
又A(,
),B(-
,
)不合题意,舍去.
∴A(,0),B(0,1),
故所求椭圆Γ的方程为+y2=1.
(2)由题意知M、N是椭圆+y2=1上的两点,且OM⊥ON,
故设M(r1cosθ,r1sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ),
于是r12(+sin2θ)=1,r22(
+cos2θ)=1,
又(r12+r22)(+
)=2+
+
≥4,
从而|MN|2•≥4,即|MN|≥
,
故所求|MN|的最小值为.
定长等于2的线段AB的两个端点分别在直线y=
x和y=-
x上滑动,线段AB中点M的轨迹为C;
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设过点(0,1)的直线l与轨迹C交于P,Q两点,问:在y轴上是否存在定点T,使得不论l如何转动,•
为定值.
正确答案
(Ⅰ)设M(x,y),A(x1,x1),B(x2,-
x2),
则x1+x2=2x,x1-x2=,代入|AB|=
=2
,
得轨迹C的方程为+6x2=24,即
+
=1;
(Ⅱ)(1)若l不与y轴重合,设直线l方程为y=kx+1,代入椭圆C的方程得(4k2+9)x2+8kx-32=0,
设P(x3,kx3+1),Q(x4,kx4+1),
则x3+x4=-,x3•x4=-
;
设点T(0,t),则•
=x3•x4+(kx3+1-t)•(kx4+1-t)
=(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2
=
=,
使•
为定值,则
=
,
解得t=,即对于点T(0,
)总有
•
=
;
(2)当l与y轴重合时,P(0,3),Q(0,-3),对于点T(0,)也有
•
=
,
故在y轴上存在定点T(0,)使得
•
为定值.
设F1、F2分别为椭圆C:+
=1(a>b>0)的左、右两个焦点,椭圆C上一点P(1,
)到F1、F2两点的距离之和等于4.又直线l:y=
x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l经过点F1,求△ABF2的面积;
(Ⅲ)求 •
的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)由题设可知,椭圆的焦点在x轴上,且2a=4,即a=2. (1分)
又点A(1,)在椭圆上,∴
+
=1,解得b2=3.(2分)
∴椭圆C的标准方程是+
=1. (3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,c2=a2-b2=1,即c=1,
∴F1、F2两点的坐标分别为(-1,0)、(1,0). (4分)
∵直线l:y=x+m经过点F1(-1,0),
∴0=×(-1)+m,∴m=
. (5分)
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由题意,有
,消去x,整理得16y2-12y-9=0,
∴y1+y2=,y1y2=-
. (6分)
设△ABF2的面积为SABF2,则
SABF2=|F1F2||y2-y1|=
×2
=
=
(Ⅲ)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由题意,有
,消去y,整理得x2+mx+m2-3=0 ①
x1+x2=-m,x1x2=m2-3.
∴y1y2=(x1+m)(
x2+m)=
x1x2+
(x1+x2)m+m2=
(m2-3)+
(-m)m+m2=
m2-
. (10分)
∴•
=x1x2+y1y2=m2-3+
m2-
=
m2-
,(11分)
又由①得,△=m2-4(m2-3)=-3m2+12,
∵A、B为不同的点,∴△>0,∴0≤m2<4.
∴-≤
•
<
.
∴•
的取值范围是[-
,
). (14分)
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