热门试卷

（Ⅰ）设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，

∴|NF1|=a，∵e=，∴a=2c，

∴∠NF1P=，|PF1|=2a．

∴F2（c，0）是以|PF1|为直径的圆的圆心，

∵该圆和直线x+y+3=0相切，

∴2c=，解得c=1，a=2，b=，

∴椭圆M的方程为：+=1．

（Ⅱ）设点A（x1，y1），C（x2，y2），则点B（x1，-y1），

设直线PA的方程为y=k（x-3），

联立方程组，消掉y，化简整理得（4k2+3）x2-24k2x+36k2-12=0，

由△=（24k2）2-4•（3+4k2）•（36k2-12）＞0，得0＜k2＜．

则x1+x2=，x1x2=．

直线BC的方程为：y+y1=(x-x1)，

令y=0，则x====．

∴Q点坐标为(，0)．

•=(x1-)(x2-)+y1y2=(x1-)(x2-)+k2(x1-3)(x2-3)

=(1+k2)x1x2-(3k2+)(x1+x2)+9k2+

=(1+k2)•-(3k2+)•+9k2+

=+=-．

∵0＜k2＜，

∴•∈(-，)．

（Ⅰ）因为+=1（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，

由=②，2b=③．联立①②③，

解得a2=5，b2=，

所以椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入+=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-，

因为AB中点的横坐标为-，所以-=-，解得k=±，

（2）由（1）知x1+x2=-，x1x2=，

所以•=（x1+，y1）（x2+，y2）=（x1+）（x2+）+y1y2

=（x1+）（x2+）+k2（x1+1）（x2+1）

=（1+k2）x1x2+（+k2）（x1+x2）++k2

=（1+k2）+（+k2）（-）++k2=；

（1）依题意，设直线l：x+y=与椭圆Γ：+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），

由∠AOB=，知x1x2+y1y2=0，而x1=（1-y1），x2=（1-y2），代入上式得到：4y1y2-3（y1+y2）+3=0①

由|AB|=2知：|y1-y2|=2，即|y1-y2|=1，

不妨设y1＞y2，则y2=y1+1，②

将②式代入①式求得：或，

∴A（，），B（-，）或A（，0），B（0，1），

又A（，），B（-，）不合题意，舍去．

∴A（，0），B（0，1），

故所求椭圆Γ的方程为+y2=1．

（2）由题意知M、N是椭圆+y2=1上的两点，且OM⊥ON，

故设M（r1cosθ，r1sinθ），N（-r2sinθ，r2cosθ），

于是r12（+sin2θ）=1，r22（+cos2θ）=1，

又（r12+r22）（+）=2++≥4，

从而|MN|2•≥4，即|MN|≥，

故所求|MN|的最小值为．

（Ⅰ）设M(x，y)，A(x1，x1)，B(x2，-x2)，

则x1+x2=2x，x1-x2=，代入|AB|==2，

得轨迹C的方程为+6x2=24，即+=1；

（Ⅱ）（1）若l不与y轴重合，设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆C的方程得（4k2+9）x2+8kx-32=0，

设P（x3，kx3+1），Q（x4，kx4+1），

则x3+x4=-，x3•x4=-；

设点T（0，t），则•=x3•x4+（kx3+1-t）•（kx4+1-t）

=(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2

=

=，

使•为定值，则 =，

解得t=，即对于点T(0，)总有•=；

（2）当l与y轴重合时，P（0，3），Q（0，-3），对于点T(0，)也有•=，

故在y轴上存在定点T(0，)使得•为定值．