热门试卷

（1）依题意，设椭圆方程为+=1 ( a＞b＞0 )，

则其右焦点坐标为F(c ， 0 ) ，c=，（1分）

由|FB|=2，得=2，

即(c-)2+2=4，解得c=2．（3分）

又∵b=2，∴a2=c2+b2=12，即椭圆方程为+=1．（4分）

（2）由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，

由消去y得x2+3（kx-2）2=12

即（1+3k2）x2-12kx=0（6分）

由k≠0，得方程的△=（-12k）2=144k2＞0，即方程有两个不相等的实数根． （7分）

设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），

则x1+x2=，∴x0==，

∴y0=kx0-2==，即P ( ， )，（9分）

∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1==，（10分）

由AP⊥MN，得×k=-1，（11分）

∴2+2+6k2=6，解得：k=±，即tanα=±，（12分）

又0≤α＜π，故α=，或α=，

∴存在直线l满足题意，其倾斜角α=，或α=．（13分）

（1）由双曲线G：x2-y2=4，得焦点(±2，0)，顶点（±2，0）．

∵椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，∴a2=(2)2=8，c2=22=4，∴b2=8-4=4．

∴椭圆E的方程为+=1；

（2）假设存在一个以原点O为圆心的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且⊥．

当切线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+t，与椭圆的两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，消去y得到关于x的方程（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0，

必须满足△=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-8）＞0，即8k2+4＞t2（*）．

∴x1+x2=-，x1x2=．（**）

∵直线l与圆x2+y2=r2，∴=r，化为t2=r2（1+k2）．①

∵⊥，∴x1x2+y1y2=0．

又y1=kx1+t，y2=kx2+t．

代入上式得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，

把（**）代入上式得-+t2=0，

化为3t2=8（k2+1），②满足（*）式．

由①②可得r2=．

因此此时存在满足条件的圆为x2+y2=．

当切线l的斜率不存在时，也满足上述方程．

综上可知：存在一个以原点O为圆心的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且⊥．

（1）∵=，∴==1-=，∴a2=2b2①

曲线过(1，)，则+=1②

由①②解得，则椭圆方程为+y2=1．

（2）联立方程，消去y整理得：3x2+4mx+2m2-2=0

则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0，解得-＜m＜③

x1+x2=，y1+y2=x1+x2+2m=+2m=，

即AB的中点为(-，)

又∵AB的中点不在x2+y2=内，

∴+=≥

解得，m≤-1或m≥1④

由③④得：-＜m≤-1或1≤m＜．

（I）∵椭圆的离心率为e=，∴=

∵以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-y-3=0相切

∴=2c，∴c=1

∴a=，∴b2=a2-c2=1

∴椭圆C的方程为+y2=1；

（II）直线y=x代入椭圆方程可得x2=1，∴x=±，∴|AB|=

设椭圆上点的坐标为D（cosα，sinα），则该点D到直线的距离为=≤

∴△ABD面积的最大值为××=．