热门试卷

（Ⅰ）因为△ABM是边长为的正三角形

所以圆M的半径r=，M到y轴的距离为d=r=，即椭圆的半焦距c=d=

此时点M的坐标为(，)…（2分）

因为点M在椭圆D：+=1(a＞b＞0)上

所以+=1

又a2-b2=c2=2

解得：a2=6，b2=4

所求椭圆D的方程为+=1…（4分）

（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k

直线l的方程为y=k（x+1），则有Q（0，k）

设P（x1，y1），由于P、Q、F三点共线，且=2

根据题意得（x1，y1-k）=2（-x1-1，-y1），解得…（6分）

又P在椭圆D上，故+=1

解得k=±

综上，直线l的斜率为k=±．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）得：椭圆N的方程为+y2=1…①，

由于F1（1，0），设直线GK的方程为y=kx-2（k＜0）…②，

则直线RS的方程为y=k（x-1）（k＜0）…③

设H（x3，y3），K（x4，y4）

联立①②消元得：（1+2k2）x2-8kx+6=0，所以x3x4=

所以|GH|•|GK|=•=•=…（10分）

设R（x5，y5），S（x6，y6）

联立①③消元得：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0

所以x5+x6=，x5x6=y5y6=k2[x5x6-(x5+x6)+1]=3|RF1|•|F1S|=3•=3•=…（13分）

由=，化简得：k2+1=0，显然无解，

所以满足|GH|•|GK|=3|RF1|•|F1S|的直线GK不存在．…（14分）

（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由题意得，解得，

∴椭圆C的方程为+=1；

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线l的方程为y=(x-3)，

与椭圆的方程联立，消去y得到x2-3x-8=0，

∵x1+x2=3，∴线段AB的中点的横坐标为=．

∴线段AB的中点的纵坐标为×(-3)=-．

∴线段AB的中点的坐标为(，-)．

由题意可设 抛物线方程为y2=2px（p＞0）

∵点M(，)在抛物线上，∴p=2

抛物线的方程为y2=4x

∴F1（-1，0），F2（1，0），C=1

∴2a=MF1+MF2=4，a=2，b=

椭圆的方程为+

（1）设+=1，则c2+（）2=a2，准线l：x=，

由点F分的比为3，得-c=3c，

解得a2=4，c=1，得椭圆方程为：+=1．（5分）

（2）设PQ：y=k（x+4），P（x1，y1），Q（x2，y2），F（-1，0）．

∵PF⊥QF，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

即（x1+1）（x2+1）+k2（x1+4）（x2+4）=0，

（1+k2）x1x2+（1+4k2）（x1+x2）+（1+16k2）=0（4分）

联立，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2-12=0

∴x1x2=，x1+x2=-（4分）

代入化简得8k2=1，∴k=±．

∴直线PQ的方程为y=（x+4）或y=-（x+4）．（2分）