热门试卷

（Ⅰ）由题设知b=，e==，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，∴椭圆C的方程+=1（3分）

（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-k），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）

由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=，x1•x2=（6分）

又由=λ，

∴（x1，y1）=λ（1-x1，-y1），

∴λ=，同理∴μ=（8分）

∴λ+μ=+==-

所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值-；（10分）

（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N(，0)，

猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N(，0)（11分）

证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）

当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N(，0)，∵lAE：y-y2=•(x-4)

当x=时，y=y2+•(-)=====0∴点N(，0)在直线lAE上，同理可证，点N(，0)也在直线lBD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点(，0)

设A（x1，y1），B（x2，y2），那么A、B的坐标是方程组 的解．

即：a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0，

因为 =-1，

所以 =，

即 =，==，所以b=a①

再由方程组消去y得（a+b）x2-2bx+b-1=0，

由|AB|===

=2 ，

得（x1+x2）2-4x1x2=4，即（ ）2-4•=4．②

由①②解得a=，b=，

故所求的椭圆的方程为 +=1．

（Ⅰ）∵椭圆+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，

点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，

∴b=2，a2=(b)2=8，

所求椭圆方程为+=1． …（5分）

（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，

依题意m≠±2．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0．…（7分）

则x1+x2=-，x1x2=．

∵+=8，

∴+=8，

即2k+（m-2）•=8．…（10分）

所以k=-=4，整理得 m=k-2．

故直线AB的方程为y=kx+k-2，即y=k（x+）-2．

所以直线AB过定点（-，-2）． …（12分）

若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，

设A（x0，y0），B（x0，-y0），

由已知+=8，

得x0=-．此时AB方程为x=-，显然过点（-，-2）．

综上，直线AB过定点（-，-2）．…（13分）

（1）圆x2+y2-2y-3=0化为标准方程：x2+（y-1）2=4

∴圆的圆心P（0，1）…（1分），

设抛物线C：x2=2py…（2分），

∵抛物线C以圆心P为焦点，

∴=1…（3分），

∴p=2

∴所求抛物线的方程为x2=4y…（4分）．

（2）由方程组可得y=1…（5分），

依题意，圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，∴A（2，1）…（6分），

抛物线C即函数y=x2的图象，当x=2时，切线的斜率k=y′=x=1…（8分），

∴切线为y-1=1×（x-2），即x-y-1=0…（9分），

∴x=0时，y=-1，所以Q（0，-1）…（10分）．

∵动点M到P、Q两点距离之和等于6

∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆，

设它的方程为+=1(a＞b＞0)…（12分），

则2a=|MP|+|MQ|=6，2c=|PQ|=2…（13分），

∴a=3，b2=a2-c2=8，

∴M的轨迹方程为+=1…（14分）．