热门试卷

（Ⅰ）由已知e==，得==1-e2=．

所以a2=2b2．

所以C：+=1，即x2+2y2=2b2．

因为椭圆C过点(2，)，所以22+2()2=2b2，

得b2=4，a2=8．

所以椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0）．

根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），

由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y=-(x-2)．

设M（x1，y1），N（x2，y2）．

由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0．

则 x1+x2=，x1x2=．

所以|MN|=|x1-x2|=•=．

同理可得|PQ|=．

所以+=+==．

如图所示，

（1）设椭圆C的方程为：+=1（a＞b＞0），且c＞0，c2=a2-b2；

由题意a-c=1-，=，∴a=1，b=c=；∴C的方程为y2+2x2=1；

（2）由=λ，得-=λ（-），∴（1+λ）=+λ，∴1+λ=4，即λ=3；

设l与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），由，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，

∴△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0，∴x1+x2=，x1x2=；

由=3，得-x1=3x2，∴，整理得3（x1+x2）2+4x1x2=0，

即3(

-2km

k2+2

)2+4=0，整理得4k2m2+2m2-k2-2=0①，

当m2=时，①式不成立；m2≠时，有k2=，由λ=3，知k≠0，

∴k2=＞0，∴-1＜m＜-或＜m＜1，符合△＞0，

∴m∈（-1，-）∪（，1）．

（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程：+=1（a＞b＞0）

∵椭圆的一个顶点是(0，-)∴b=

∵离心率为e==c=a

∵a2=b2+c2，∴a2=20，b2=5

∴椭圆方程：+=1

（2）椭圆方程：+=1

∴左右焦点为F1(-，0)，F2(，0)，F1F2=2

联立方程整理可得，2y2-2my+m2-5=0

∵直线与椭圆相交于A、B两点，∴△=4m2-8（m2-5）＞0，即：-＜m＜，且y1+y2=m，y1y2=

由题知：以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积S=|F1F2||y1-y2|=2×=≤5

（1）设点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），

则=(3+c，1)，=(3-c，1)，

故•=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，

解得c=4，

所以2a=|PF1|+|PF2|=+=6，

所以a=3，b2=a2-c2=18-16=2，

所以椭圆E的方程为+=1．　　　　　

（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则=(9，m)，=(1，n)，

因为⊥，

所以•=9+mn=0，即mn=-9，

又因为圆C的圆心为(5，)，半径为，

所以圆C的方程为(x-5)2+(y-)2=()2，

即（x-5）2+y2-（m+n）y+mn=0，即（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，

令y=0，可得x=8或2，

所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．