热门试卷

（I）∵△ABM是边长为2的正三角形，∴圆的半径r=2，

∴M到y轴的距离d=

又圆M与x轴相切，∴当x=c时，得y2=，∴r=．

∴=2，c=∵a2-b2=c2，

∴a2-3=2a，解得a=3或a=-1（舍去），则b2=2a=6．

故所求椭圆方程为+=1．

（II）①当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得=．

∵恒有|OC|2+|OD|2＜|CD|2，∴2(1+)＜4，＞1，即＞1．

解得a＞或a＜（舍去），即a＞．

②当l不垂直x轴时，设C（x1，y1），D（x2，y2），

直线AB的方程为y=k(x-1)，代入+=1

得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0，

则x1+x2=，x1x2=

∵恒有|OC|2+|OD|2＜|CD|2，∴x12+y12+x22+y22＜（x2-x1）2+（y2-y1）2，|OC|2+|OD|2＜|CD|2恒成立，得x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2=，

由题意得，（a2-a2b2+b2）k2-a2b2＜0对k∈R恒成立．

当a2-a2b2+b2＞0对k∈R不是恒成立的．

当a2-a2b2+b2=0时，a=，恒成立．

当a2-a2b2+b2＜0时恒成立，∴a2＜a2b-b2，即a2＜（a2-1）b2=b4，

∵a＞0，b＞0，

∴a＜b2，即a＜a2-1，

∴a2-a-1＞0，解得a＞或a＜，即a＞．

综上，a的取值范围是[，+∞)

（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由椭圆短轴长为4得2b=4，解得b=2，

由离心率为，得=，即a2=5c2=5（a2-4），解得a2=5，

所以椭圆的标准方程为+=1；

（2）由得9x2+10x-15=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，

所以|MN|=•|x1-x2|=•=•=；

（1）设F1（-c，0），F2（c，0），则

由•=-2得b2-c2=-2

∵e==

∴a2=4，b2=1，c2=3

∴椭圆方程为+y2=1；

（2）设直线l的方程为x=my-

∵倾斜角α∈[，]，

∴m∈[-，]

则P1（x1，y1），P2（x2，y2）的坐标轴满足方程组

∴（m2+4）y2-2my-1=0

∴y1+y2=，y1y2=-

∴x1x2=4×

由P1（x1，y1），P2（x2，y2），得直线OP1、OP2的方程为y=x、y=x

∴点S、T的坐标为S（-，-），T（-，-）

∴|ST|=|-|=

令=t

∵m∈[-，]

∴t∈[1，]

∴|ST|=∈[，]．

（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，经过点（，1），

∴e==⇔==①，+=1②，

由①②解得a2=8，b2=4，

∴该椭圆的标准方程为：+=1；

（2）∵椭圆+=1的左焦点F1（-2，0）；

设过其左焦点F1的直线AB的方程为：y=k1（x+2），k1≠0

由方程组得（2k12+1）x2+8k12x+8k12-8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=

由弦长公式得|AB|=•=，

同理设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=•=，，

由（1）k1•k2=-1得k2=-，代入得|CD|=，

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，

∴λ==+==，则存在λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．