热门试卷

（1）短轴长2b=2，b=1，e==

又a2=b2+c2，所以a=，c=1，所以椭圆的方程为+y2=1

（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

消去y得，（1+2k2）x2+4mkx+2m2-2=0，•=x1x 2+y1y 2=

即=即9m2=10k2+8S△AOB=|m||x1-x2|===

即9m2（1+2k2-m2）=（1+2k2）2

，

解得k2=1，m2=2，所以y=±x±

（Ⅰ）由已知可得|PF1|+|PF2| =|F1F2| =6＞|F1F2|=4，

故曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为+=1．

（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可知A为MB的中点，

则有

将（3）、（4）代入（2）得+=1，整理为+-y1+=0．

将（1）代入上式得y1=2，再代入椭圆方程解得x1=±，

故所求的直线方程为y=±x+3．

方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．

由得（5+9k2）x2+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，①x1x2=．②

因为=，所以A为MB的中点，从而x2=2x1．

将x2=2x1代入①、②，得x1=，x12=，

消去x1得()2=，

解得k2=，k=±．

所以直线l的方程为y=±x+3．

（I）∵圆x2+y2+2x=0的圆心为（-1，0），依据题意c=1，a-c=-1，∴a=．

∴椭圆的标准方程是：+y2=1；

（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是：x=-1，

 得A（-1，），B（-1，-），

•=（，）•（，-）=-．

②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为 y=k（x+1）

⇒（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，

 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=-，

•=（x1+，y1）•（x2+，y2）=x1x2+（x1+x2）++k2（x1x2+x1+x2+1）

=（1+k2）x1x2+（k2+）（x1+x2）+k2+=（1+k2）（）+（k2+）（-）+k2+

=+=-2+=-

综上•为定值-．

（Ⅰ）设P（m，n），则

∵两定点E（-，0），F（，0），动点P满足•=0，

∴（--m，-n）•（-m，-n）=0，

∴m2+n2=2

设M（x，y），则

∵由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足=，

∴P（x，y）

∴x2+2y2=2

∴曲线C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）①若直线l垂直于x轴，此时|AB|=． …（5分）

②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=kx+m，

则原点O到直线l的距离为=，整理可得2m2=1+k2．…（6分）

由消去y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得△＞0，

则x1+x2=-，x1x2=．

∴|AB|=•=2•…（8分）

∵2m2=1+k2，

∴2 （1+k2）（1+2k2-m2）=（1+k2）（2+4k2-2m2）=（1+k2）（1+3k2）≤（1+2k2）2，

等号当且仅当1+k2=1+3k2，即k=0时成立．

即2•≤2．

所以k=0时，|AB|取得最大值2．…（12分）