椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1(a＞0b＞0)的离心率为，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+=0相切．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点F2的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△Fl MN面积最大时直线l的方程．

正确答案

（I）由题意得，解得，

所以椭圆C的标准方程为+=1；

（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为x=my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），则点M、N的坐标是方程组的两组解，

消掉x得，（3m2+4）y2+6my-9=0，所以，

所以S△F1MN=|F1F2||y1-y2|=

===≤=3（当且仅当m=0时取等号），

所以当m=0时，S△ABC取最大值，此时直线l的方程为x=1．

题型：简答题

简答题

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M(，1)，且左焦点为F1(-，0)

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足||•||=||•||，证明：点Q总在某定直线上．

正确答案

（Ⅰ）由题意得，

解得a2=4，b2=2，

所以椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2）．

由题设知||，||，||，||均不为零，记λ==，则λ＞0且λ≠1

又A，P，B，Q四点共线，从而=-λ，=λ

于是4=，1=，x=，y=

从而=4x①，=y②，

又点A、B在椭圆C上，即x12+2y12=4 ③，x22+2y22=4 ④，

①+②×2并结合③、④得4x+2y=4，

即点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．

题型：简答题

简答题

椭圆+=1过点（2，3），椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之差为2，

（1）求椭圆方程

（2）试判断△PF1F2的形状．

正确答案

（1）∵椭圆+=1过点（2，3），

∴+=1

∴m=12，

∴椭圆方程为：+=1．

（2）：由|PF1|+|PF2|=8，|PF1|-|PF2|=2，解得|PF1|=5，|PF2|=3．

又|F1F2|=4，故满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2．

∴△PF1F2为直角三角形．

题型：简答题

简答题

已知椭圆M：+=1 (a＞b＞0)的离心率为，短轴的长为2．

（1）求椭圆M的标准方程

（2）若经过点（0，2）的直线l与椭圆M交于P，Q两点，满足•=0，求l的方程．

正确答案

（1）由e==，b=1，a2=b2+c2得a=2（2分）

所以椭圆方程为+y2=1（4分）

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）设直线l：y=kx+2（5分）

由得（1+4k2）x2+16kx+12=0△=64k2-48＞0①（7分）

x1+x2=-，x1x2=②∵•=0

∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0③（10分）

由②③解得k=±2满足①所以l：2x-y+2=0或2x+y-2=0（12分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点(1，)在该椭圆上．

（1）求椭圆的方程．

（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若∠AOB是直角，其中O是坐标原点，求直线l的方程．

正确答案

（1）∵椭圆+=1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点(1，)在该椭圆上，

∴+=1，解得b2=1．

∴椭圆的方程为+y2=1．

（2）∵直线l过椭圆+y2=1的右焦点F（，0），

∴设l的方程为：y=k（x-），

联立，得（4k2+1）x2-8k2x+12k2-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

y1y2=k（x1-）•k（x2-）=k2x1x2-k2（x1+x2）+3k2，

∵∠AOB是直角，

∴x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2-k2（x1+x2）+3k2

=（k2+1）•）-k2•+3k2

==0，

解得k=±．

∴直线l的方程为y=±（x-）．

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