椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．

（1）求椭圆T的方程；

（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．

正确答案

（1）设椭圆T的方程为+=1（a＞b＞0），

由题意知：左焦点为F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=+3，

解得a=2，

∵c=2，∴b==2．

故椭圆T的方程为+=1…（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），

由：x12+2y12=8，x22+2y22=8，两式相减，得到

（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0

所以k1==-•=-，即=-，…（9分）

同理=-，=-

所以++=-2(++)，

又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0，

所以++=0 …（13分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1 (a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），左、右顶点分别A、B，其中B点的坐标为（2，0）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过F的直线交C于M、N，记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2，求的取值范围．

正确答案

（I）由已知得a=2，c=1，

又在椭圆中有b2=a2-c2，

所以b2=3

所以椭圆C的方程为：+=1．

（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），

由方程组，

消x，得（3m2+4）y2+6my-9=0，

∴y1+y2=，①

y1y2=，②

①2/②得++2=，，令t=，

则|t|+||=|t+|==-，

∴2≤|t|+||＜，即＜|t|＜3．

∵==|t|，

∴∈(，3)

题型：简答题

简答题

已知三点P(，-)、A（-2，0）、B（2，0）．（1）求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）求以A、B为顶点且以（1）中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程．

正确答案

（1）2a=PA+PB=2

所以a=，又c=2，所以b2=a2-c2=6

方程为：+=1

（2）a=2，c=

所以b2=c2-a2=6

双曲线方程为：-=1

题型：简答题

简答题

已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．

正确答案

若椭圆的焦点在x轴上，设方程为+=1(a＞b＞0)．

由题意解得

∴椭圆的方程为+y2=1；

若椭圆的焦点在y轴上，设方程为+=1(a＞b＞0)，

由题意解得

∴椭圆方程为+=1．

故椭圆方程为+y2=1，或+=1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知e=(t，0)，p=λ(+)，是否对任意的正实数t，λ，都有•=0成立？请证明你的结论．

正确答案

（1）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)

则，解得，

∴椭圆方程+=1．

（2）若•=0成立，则向量=λ(+)与x轴垂直，

由菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直．为此只需考察直线MA，MB的倾斜角是否互补即可．

由已知，设直线l的方程为：y=x+m

由，∴x2+2mx+2m2-4=0

设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，

只需证明k1+k2=0即可，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1=，k2=

由x2+2mx+2m2-4=0可得，

x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，而

k1+k2=+=

==0，

∴k1+k2=0，

直线MA，MB的倾斜角互补．

故对任意的正实数t，λ，都有•=0成立．

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