椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为+1．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．

正确答案

（1）因为，所以a=，c=1，（4分）

∴b=1，椭圆方程为：+y2=1 （6分）

（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），

代入+y2=1，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2= ①，（10分）

y1+y2=k（x1+x2-2）=

设AB的中点为M，则M（，），

∵|AC|=|BC|

∴CM⊥AB即kCM•kAB=-1

∴-2m+•k=0

∴（1-2m）k2=m

∴当0≤m＜时，k=±，即存在这样的直线l

当≤m≤1，k不存在，即不存在这样的直线l （15分）

题型：填空题

填空题

曲线C上的点到F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为4，则曲线C的方程是______．

正确答案

由题意可得：曲线C上的点到F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为4，

所以结合椭圆的定义可得此曲线为椭圆．

因为焦点为F1（0，-1），F2（0，1），所以可得椭圆的焦点在y轴上．

并且a=2，c=1，所以b=3．

所以椭圆的方程为：+=1．

故答案为：+=1．

题型：简答题

简答题

已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆+=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点，=(2-)．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若|AB|=3，求椭圆的标准方程．

正确答案

（1）直线l的方程为x=y-c，

由，

消去x得，（a2+b2）y2-2b2cy-b4=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=①，

y1y2=②，

又由=(2-)，

得=-(2-)③，

由①②得=++2==-2，

∴a2+b2=2c2，a2=3b2，

∴2a2=3c2，

∴e=．

（2）|AB|=|y1-y2|

=×==a=3，

∴b2=3

∴椭圆标准方程为+=1．

题型：填空题

填空题

若关于x，y的方程-=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围为______．

正确答案

由题意可得 1+k＞1-k＞0，∴0＜k＜1，

故答案为（0，1）．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的两焦点为F1（-1，0），F2（1，0），并且经过点M(1 ， )．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知圆O：x2+y2=1，直线l：mx+ny=1，证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

正确答案

（1）解法一：设椭圆C的标准方程为+=1(a＞b＞0)，

由椭圆的定义知：2a=+=4 ， c=1 ， b2=a2-c2=3

得a=2，b=

故C的方程为+=1．

解法二：设椭圆C的标准方程为+=1(a＞b＞0)，

依题意，a2=b2+1①，将点M(1，)坐标代入得+=1②

由①②解得a2=4，b2=3，故C的方程为+=1．

（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以+=1，则m2+n2＞+=1，

从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=＜1=r，

所以直线l与圆O相交．

直线l被圆O所截的弦长为L=2=2=2=2

∵0≤m2≤4∴3≤m2+3≤4，≤≤，∴≤L≤．

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