椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：填空题

填空题

若方程-=1表示椭圆，则实数m的取值范围是______．

正确答案

∵方程-=1表示椭圆，

∴将方程化为标准形式，得+=1

可得，解之得-2＜m＜-1且m≠

∴m∈(-2，-)∪(-，-1)．

故答案为：(-2，-)∪(-，-1)

题型：简答题

简答题

已知抛物线的顶点为椭圆+=1（a＞b＞0）的中心．椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，且它们的准线互相平行．又抛物线与椭圆交于点M(，-)，求抛物线与椭圆的方程．

正确答案

由题意，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），则

将M(，-)代入方程可得=2p×，∴p=2，

∴抛物线的方程为y2=4x

∵椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，

∴e==

∵+=1，a2=b2+c2

∴a=2，b=

∴椭圆方程为：+=1

题型：填空题

填空题

下列五个命题，其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）．

（1）已知C：+=1（m∈R），当m＜-2时C表示椭圆．

（2）在椭圆+=1上有一点P，F1、F2是椭圆的左，右焦点，△F1PF2为直角三角形则这样的点P有8个．

（3）曲线+=1(m＜6)与曲线+=1(5＜m＜9)的焦距相同．

（4）渐近线方程为y=±x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是-=1

（5）抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，)．

正确答案

（1）当m=-3时，椭圆的方程变为C：+=1表示一个圆，故错；

（2）F1、F2是椭圆 +=1(a＞b＞0)的焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，

∴以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径r=c≥b，

∴圆与椭圆最多有4个交点，∴，△F1PF2为直角三角形则这样的点P最多有4个．故错；

（3）曲线+=1(m＜6)与曲线+=1(5＜m＜9)的焦距都为4，相同，故正确；

（4）根据题意，近线方程为y=±x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是-=λ(λ≠0)故错；

（5）整理抛物线方程得x2=y，p=

∴焦点坐标为 (0，)故正确．

故答案为：（3）（5）

题型：填空题

填空题

设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为______．

正确答案

如图，设椭圆的标准方程为+=1，

由题意知，2a=4，a=2．

∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（-1，1），

因点C在椭圆上，∴+=1，

∴b2=，

∴c2=a2-b2=4-=，c=，

则Γ的两个焦点之间的距离为．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

方程+=1表示的曲线为C，给出下列四个命题：

①曲线C不可能是圆；

②若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；

③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜．

其中正确命题序号是______．

正确答案

由圆的定义可知：当4-t=t-1时，即t=时方程+=1表示圆，故①错误；

由双曲线的定义可知：当（4-t）（t-1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程+=1表示双曲线，故③正确；

由椭圆定义可知：（1）当椭圆在x轴上时，当满足时，即1＜t＜时方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．

（2））当椭圆在y轴上时，当满足时，即＜t＜4时方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，故②错误．

故答案为：③④．

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