热门试卷

（Ⅰ）由题设知F1(-，0)，F2(，0)，

由于•=0，则有⊥=0，所以点A的坐标为(，±)  …（2分）

故AF1所在直线方程为y=±(+)   …（4分）

所以坐标原点O到直线AF1的距离为

又|OF1|=，所以=，解得：a=2 …（6分）

∴所求椭圆的方程为+=1   …（7分）

（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k）      …（8分）

设Q（x1，y1），由于Q、F、M三点共线，且||=2||，

∴（x1，y1-k）=±2（x1+1，y1），解得或  …（11分）

又Q在椭圆C上，故+=1或+=1…（12分）

解得k=0或k=±4，所以所求直线l的斜率为0或±4       …（14分）

（本小题满分14分）

（Ⅰ）连接DF2，FO（O为坐标原点，F2为右焦点），

由题意知：椭圆的右焦点为F2(，0)

因为FO是△DF1F2的中位线，且DF1⊥FO，

所以|DF2|=2|FO|=2b，

所以|DF1|=2a-|DF2|=2a-2b，

故|FF1|=|DF1|=a-b．…（2分）

在Rt△FOF1中，|FO|2+|FF1|2=|F1O|2

即b2+（a-b）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，

所求椭圆E的方程为+=1．…（4分）

（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：x2+=1

设直线l的方程为y=k（x+2）并代入x2+=1

整理得：（k2+4）x2+4k2x+4k2-4=0

由△＞0得：-＜k＜，…（5分）

设H（x1，y1），K（x2，y2），N（x0，y0）

则由中点坐标公式得：…（6分）

①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）．…（7分）

②当k≠0时，则x0≠0，直线MN的方程为y=x+1

此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）；

若直线MN过椭圆G的顶点（1，0），则0=+1，即x0+y0=1，

所以+=1，解得：k=，k=2（舍去），…（8分）

若直线MN过椭圆G的顶点（-1，0），则0=-+1，即x0-y0=-1，

所以-=-1，

解得：k=-4+2，k=-4-2（舍去）．…（9分）

综上，当k=0或k=或k=-4+2时，直线MN过椭圆G的顶点．…（10分）

（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为+y2=1，…（11分）

根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0）

则直线AC的方程为y+n=(x+m)，…①

过点P且与AP垂直的直线方程为y-n=-(x-m)，…②

①×②并整理得：+y2=+n2，

又P在椭圆W上，所以+n2=1，

所以+y2=1，

即①、②两直线的交点B在椭圆W上，所以PA⊥PB．…（14分）

法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为+y2=1

根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），

∴kPA=，kAC=，

所以直线AC：y=(x-m)，

化简得(1+)x2-x+-2=0，

所以xA+xB=，

因为xA=-m，所以xB=，则yB=xB-=．…（12分）

所以kPB==-，则kPA•kPB=-1，故PA⊥PB．…（14分）

解（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则b2x12+a2y12=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，

两式相减得=-=-①，

由=c，=0，得x1+x2=3c，y1+y2=-b，代入①

得2b2-5bc+2c2=0⇒2b=c或b=2c②；

∵M、N在直线L上，得6（x1+x2）-5（y1+y2）=56⇒18c+5b=56③；

由②③解得（b为整数）：b=4，c=2，a2=20，

因此椭圆方程为：+=1．

（2）证明：cos∠F1PF2=

=≥-1=＞，

∴∠F1PF2＜60°，

∴使∠F1PF2=60°的点P不存在．