热门试卷

（1）∵抛物线y2=2px经过点M（2，-2），

∴8=4p，∴p=2

∴抛物线的方程为y2=4x，其焦点为F（1，0），∴c=1

∵椭圆的离心率为，

∴a=2

∴b2=a2-c2=3

∴椭圆的方程为+=1；

（2）设Q（x，y），x∈[-2，2]，设P（x，y0），则+=1

∴y02=3-x2

∵=λ（λ≠0），

∴=λ2

∴(λ2-)x2+λ2y2=3，x∈[-2，2]，

①λ2=，即λ=时，点Q的轨迹方程为y=±2，x∈[-2，2]，轨迹是两条平行于x轴的线段；

②λ2＜，即0＜λ＜时，轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[-2，2]的部分；

③λ2＞，即λ＞时，轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[-2，2]的部分．

（1）由椭圆右顶点到直线l的距离等于，得

=，解得a=2，由c=1，所以b2=a2-c2=3．

所以椭圆的方程为+=1；

（2）由题意设A（x1，x1-1），B（x2，x2-1），

由，得（2a2-1）x2-2a2x+2a2-a4=0

x1+x2=，x1x2=

∵直线AB：x-y-1=0过焦点F2（1，0），

∴△AF1F2的重心M（，），

△BF1F2的重心N（，），

因为原点O在以MN为直径的圆内，

所以•=+=

=＜0，

解得，a2＞1+．

（I）∵椭圆+ =1(a＞b＞0)的离心率为，且短轴长为2

∴=，b=1

∵a2=b2+c2

∴a2=4

∴椭圆方程为+y2 =1

（II）由题意知：|m|≥1，

当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，）  点B（1，-） 此时|AB|=；

当m=-1时，同理可得|AB|=；

当m≠±1时，设切线l的方程为：y=k（x-m），由可得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，x1•x2=，

∵l与圆x2+y2=1相切

∴圆心到直线l的距离等于圆的半径，即=1

∴m=，

所以|AB|==

==

由于当m=±1时，|AB|=，

当m≠±1时，|AB|=，此时m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）

又|AB|==≤2，（当且仅当m=±时，|AB|=2），

所以，|AB|的最大值为2．

故|AB|的最大值为2．