椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

已知椭圆Γ：+=1(a＞b＞0)的离心率为，点P (，-2)在此椭圆上，经过椭圆的左焦点F，斜率为K的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；

（Ⅱ）当K=1时，求S△AOB的值．

正确答案

（Ⅰ）由题意，，所以a=3，b=，所以椭圆Γ的方程为+=1；

（Ⅱ）∵K=1，F（-2，0），∴设直线方程为y=x+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立方程组，整理得14x2+36x-9=0，x1+x2=-，x1x2=-，

∴|AB|=|x1-x2|=•=，

设O点到直线AB的距离为d，则d==．

∴S△AOB=d•|AB|=××=．

题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，并且直线y=x+b是抛物线C2：y2=4x的一条切线．

（I）求椭圆C1的方程．

（Ⅱ）过点S(0，-)的动直线l交椭圆C1于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

（I）由得x2+（2b-4）x+b2=0

直线y=x+b是抛物线C2：y2=4x的一条切线．

所以△=0⇒b=1e==⇒a=

所以椭圆C1：+y2=1（5分）

（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x2+(y+)2=()2

当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x2+y2=1

所以两圆的切点为点（0，1）（8分）

所求的点T为点（0，1），证明如下．

当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）

当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：y=kx-

由得（18k2+9）x2-12kx-16=0

设A（x1，y1），B（x2，y2）则•=x1x2-(x1+x2)+=(1+k2)-×+=0

所以⊥，即以AB为直径的圆过点（0，1）

所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T（13分）

题型：简答题

简答题

求以椭圆+=1的焦点为焦点，且经过点P（1，）的椭圆的标准方程．

正确答案

由已知，a2=12，b2=8，∴c2=4．（2分）

设所求方程为+=1，因为过P（1，）

所以9n2+40m2=9m2n2．（4分）

即9（m2-4）+40m2=9m2（m2-4），解得m2=9或m2=（舍），

∴+=1为所求方程．（6分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆短轴上的顶点与双曲线-=1的焦点重合，它的离心率为．

（1 求该椭圆短半轴的长；

（2）求该椭圆的方程．

正确答案

（1）设所求椭圆方程为+=1，

由已知条件得b=4 …（4分）

（2）∵b=4，=，a2=b2+c2

∴a2=25

∴所求椭圆方程为+=1…（10分）

题型：简答题

简答题

设F1，F2分别是椭圆：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|=a．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

（Ⅱ）设点M（0，-1）满足|MP|=|MQ|，求该椭圆的方程．

正确答案

（Ⅰ）由直线PQ斜率为1，可设直线l的方程为y=x+c，其中c=．…（2分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则两点坐标满足方程组

消去y，整理得（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2-b2）=0，

可得：

∵|PQ|=a，∴|x1-x2|=a

由此可得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(a)2

即（）2-4（）2=．…（6分）

整理，得a2=2b2，a=b

∴椭圆的离心率e===．…（8分）

（Ⅱ）设PQ 中点为N（x0，y0），由（1）知

x0===-，y0=x0+c=c．

由|MP|=|MQ|，得MN与直线y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）

∴=-1，即=-1，解得c=3，从而a=3，b=3．

因此，椭圆的方程为+=1…（12分）

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