· 椭圆的标准方程及图象

椭圆的标准方程及图象
共1400题

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题型：简答题

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简答题

与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且2b=4的椭圆方程是______．

正确答案

椭圆9x2+4y2=36化为标准方程+=1，则焦点在y轴上，且c2=9-4=5，

又因为2b=4，则b2=20，a2=b2+c2=25，

故所求椭圆的标准方程为+=1．

故答案为+=1．

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______．

正确答案

根据题意知a=2b，c=

又∵a2=b2+c2

∴a2=4 b2=1

∴+ y2=1

故答案为：∴+ y2=1．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系中，已知△ABC的两个顶点B（-3，0），C（3，0）且三边AC、BC、AB的长成等差数列，求点A的轨迹方程．

正确答案

∵B（-3，0）、C（3，0），△ABC的三边AC、BC、AB的长成等差数列，

∴|AC|+|AB|=2|BC|=12＞|BC|，

根据椭圆的定义，可得顶点A的轨迹是以B、C为焦点，长轴长等于12的椭圆（长轴端点除外）．

∵2a=12，2c=12，

∴a=6，c=3，可得b2=a2-c2=27．

因此，顶点A的轨迹方程为+=1（x≠±6）．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使=cosθ+sinθ．

（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；

（ii）求OA2+OB2．

正确答案

（1）依题意，得 c=1．于是，a=，b=1． …（2分）

所以所求椭圆的方程为+y2=1． …（4分）

（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则+=1①，+=1②．

又设M（x，y），因=cosθ+sinθ，故…（7分）

因M在椭圆上，故+(y1cosθ+y2sinθ)2=1．

整理得(+)cos2θ+(+)sin2θ+2(+y1y2)cosθsinθ=1．

将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得 +y1y2=0．

所以，kOAkOB==-为定值． …（10分）

（ii）(y1y2)2=(-)2=•=(1-)(1-)=1-(+)+，故y12+y22=1．

又(+)+(+)=2，故x12+x22=2．

所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3． …（16分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（1，）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线l：3x-3y-1=0交椭圆C与A、B两点，若T（0，1）求证：|+|=|-|．

正确答案

（Ⅰ）设椭圆C的方程为mx2+ny2=1（m＞0．n＞0）

由椭圆C过点过（0，1），（1，）得：，解得

∴椭圆C的方程为+y2=1

（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y整理得27x2-12x-16=0，

由韦达定理得

由|+|=|-|两边平方整理可得•=0，故只需证明•=0

•=x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2+y1y2+（y1+y2）+1

而y1y2=(x1-)(x2-)=x1x2-(x1+x2)+y1+y2=x1-+x2-=x1+x2-

∴•=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=2x1x2-(x1+x2)+=--+=0

故|+|=|-|恒成立

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