热门试卷

（Ⅰ）由题意∠AF1F2=90°，cos∠F1AF2=，

又||=2，

所以||=，||=，2a=||+||=4，

所以a=2，c=1，b2=a2-c2=3，即所求椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．

设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的斜率为k（k≠0），

又F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），

由消y得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

由韦达定理得x1+x2=，故x0==，

又点N在直线PQ上，所以N(，)．

由•=•，可得•(+)=2•=0，即PQ⊥MN，

所以kMN==-，整理得m==∈(0，)，

所以在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，)．

（1）因为点Q(，)为椭圆上一点，

所以+=1，解得a2=4，

所以椭圆方程为+=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

又kOM•kON=•=-，化简得x1x2+2y1y2=0，

又M、N是椭圆C上的点，所以+=1，+=1，即x12+2y12=4，x22+2y22=4，

由=+2，⇒，

所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2

=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4x1x2+8y1y2

=4+4×4+4（x1x2+2y1y2）

=20（定值）；                                     

（3）由（2）知，动点P（x0，y0）满足x02+2y02=20，即+=1，

所以点P的轨迹是以(±，0)为焦点的椭圆．

故存在点A（，0）、B（-，0），使得|PA|+|PB|=4（定值）．

（Ⅰ）∵离心率为，∴a=2c，b=c．  

∵△ABF的面积为，

∴(2c+c)×c=，∴c=1

∴a=2，∴b=

∴椭圆E的方程为+=1；

（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，设方程为y=k（x-1）与+=1联立，消元可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=

∴•=(x1+2，y1)•( x2+2，y2)=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=

∵≤•≤，∴≤≤

∴≤k2≤1

∴≤k≤1或-1≤k≤-

∴k的取值范围是[，1]∪[-1，-]．

（1）设P的坐标为P（x，y），则Q（8，y）

∵(+)•(-)=0，得：42=2

∴4[（x-2）2+y2]=[（x-8）2+（y-y）2]，化简得3x2+4y2=48，

∴点P的轨迹方程为+=1，此曲线是以（±2，0）为焦点的椭圆；

（2）∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且=-

∴•=（+）•（+）=（+）•（-）=

PN

2-1

∵点P为椭圆+=1上的点，满足x2=16-

∵N（1，0），∴

PN

2=x2+（y-1）2=-（y+3）2+20

∵椭圆+=1上点P纵坐标满足 y∈[-2，2]

∴当y=-3时，

PN

2的最大值为20，故•=

PN

2-1的最大值等于19．