热门试卷

（1）由题意，c=1

∵点（-1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=+，∴a=

∴b2=a2-c2=1，

∴椭圆C的标准方程为+y2=1；

（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得•=-恒成立

当直线l的斜率为0时，A（，0），B（-，0），则(-m，0)•(--m，0)=-，∴m2=，∴m=±①

当直线l的斜率不存在时，A(1，)，B(1，-)，则(1-m，)•(1-m，-)=-，∴(1-m)2=

∴m=或m=②

由①②可得m=．

下面证明m=时，•=-恒成立

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty-1=0，∴y1+y2=-，y1y2=-

∴•=（x1-，y1）•（x2-，y2）=（ty1-）（ty1-）+y1y2=（t2+1）y1y2-t（y1+y2）+=+=-

综上，x轴上存在点Q（，0），使得•=-恒成立．

解析：（1）由已知得解得，

所以椭圆C的方程：+y2=1；

（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0），

联立 消去y并整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，

则△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，

此时设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，

于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，

又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，

∴•==k2⇒-+m2=0，

由m≠0得：k2=⇒k=±．

又由△＞0 得：0＜m2＜2，显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，矛盾！）

设原点O到直线l的距离为d，则

S△OMN=|MN|d=×|x1-x2|=|m|=，

故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．

过点A，B的直线方程为+=1，化为bx-ay+ab=0．

∵过点A，B的直线倾斜角为，∴=tan=．

又原点到该直线的距离为，∴=，

联立，解得．

∴椭圆C的方程为+y2=1．