热门试卷

（1）∵F1、F2是双曲线C：x2-=1的两个焦点，∴c==4

不妨设F1（-4，0）、F2（4，0）．

∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．

∴设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0）

∵根据已知得，解得

∴椭圆E的方程为+=1

（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

理由是：

∵动点P（m，n）满足|PF1|+|PF2|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，

∴+=1，∴n2=9-m2，0≤m2≤25

∵曲线M是圆心为（0，0），半径为r=的圆

圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离d==≤=＜

∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，t=2=2在0≤m2≤25上递增

∴当m2=25，m=±5，n=0，即l：x=±时，t最大为．

由题设条件可知：F1（-4，0），F2（4，0）

设F2（4，0）关于直线l：x+y-8=0的对称点为F2′（x0，y0），

则有⇒，所以F2′（8，4）．

连接F1F2′交直线L于一点，此点即为所求的点M．

此时|MF1|+|MF2|取得最小值，并且其最小值等于|F1F2′|==4

设所求椭圆方程为：+=1(a＞b＞0)

所以椭圆长轴长的最小值为4，即2a=4∴a=2，

又因为c=4，所以b2=a2-c2=40-16=24

所以所求椭圆方程为：+=1

（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，

∴

∴a2=2，b=1

∴椭圆的方程为+y2=1；

（2）由题意，直线的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2+4kx=0

∴x=0或x=-，

∵|MN|=

∴||=

∴k4-8k2+7=0

∴k=±1或k=±

∴直线l的方程为y=±x+1或y=±x+1．

（Ⅰ）因为焦点与短轴的端点都在圆x2+y2=1上，

∴c=1，b=1，

∴a2=b2+c2=1+1=2．

则椭圆方程为：+y2=1；

（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-2）．

联立，得（1+k2）x2-8k2x+8k2-2=0．

由△=64k4-4（1+k2）（8k2-2）＞0，得k2＜．

所以k∈(-，)．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则x1+x2=，x1x2=．

若O为直角顶点，则•=0，即x1x2+y1y2=0．

y1y2=k（x1-2）k（x2-2）．

所以上式可整理得：+=0．

解得k=±．满足k∈(-，)．

若A或B为直角顶点，不妨设A为直角顶点，

kOA=-，则A满足，解得

代入椭圆方程得k4+2k2-1=0．

解得k=±．满足k∈(-，)．

综上，k=±或k=±时三角形OAB为直角三角形．