热门试卷

（Ⅰ）设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d==，

∴直线l被圆O截得的弦长为2=2=2，

由2b=2，解得b=，

∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，

∴=

∴=，解得a2=3

∴椭圆E的方程为+=1；

（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k（x-x0）

与椭圆方程联立，消去y可得（3+2k2）x2+4k（y0-kx0）x+2（kx0-y0）2-6=0

∴△=[4k（y0-kx0）]2-4（3+2k2）[2（kx0-y0）2-6]=0

∴（2-x02）k2+2kx0y0-（y02-3）=0

设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k1，k2，

∴k1k2=-

∵P在圆O上，∴x02+y02=5，

∴k1k2=-=-1

∴两切线斜率之积为定值-1．

（1）由x2+y2-4x+2=0得（x-2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）

∵椭圆的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心，离心率为．

∴c=2，=，∴a=4，

∴b2=a2-c2=12

∴椭圆E的方程为+=1；

（2）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y-y0=k1（x-x0），l2：y-y0=k2（x-x0），且k1k2=

由l1与圆C：x2+y2-4x+2=0相切得=

∴[（2-x0）2-2]k12+2（2-x0）y0k1+y02-2=0

同理可得[（2-x0）2-2]k22+2（2-x0）y0k2+y02-2=0

从而k1，k2是方程[（2-x0）2-2]k2+2（2-x0）y0k+y02-2=0的两个实根

所以①，且k1k2==

∵+=1，

∴5x02-8x0-36=0，

∴x0=-2或x0=

由x0=-2得y0=±3；由x0=得y0=±满足①

故点P的坐标为（-2，3）或（-2，-3），或（，）或（，-）

（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）．

由已知b=2，离心率e==，a2=b2+c2，得a=4，

所以，椭圆C的方程为+=1；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0

设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，

则PA的直线方程为y-3=k（x-2）代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0

∴x1+2=

同理x2+2=

∴x1+x2=，x1-x2=

∴kAB===

∴直线AB的斜率为定值．

（1）∵椭圆经过点M（3，0），

∴当椭圆焦点在x轴上时，a=3b=3，得b=1，此时椭圆的标准方程为+y2=1；

当椭圆焦点在y轴上时，b=3，a=3b=9，此时椭圆的标准方程为+=1．

综上所述，所求椭圆的方程为+y2=1或+=1．

（2）∵双曲线的焦点在y轴上，a=2，

∴设双曲线的方程为-=1（b＞0），即-

x

b2

2=1（b＞0），

∵点N（2，-5）在双曲线上，

∴-

2

b2

2=1，解之得b2=16，

因此，所求双曲线的方程为-

x

16

2=1．