热门试卷

解（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为+=1（a＞b＞0），

则a=2，又点C(1，)在椭圆E上，得+=1．解得b2=3．

∴椭圆E的方程为+=1．

当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为+=1（a＞b＞0），

则b=2，又点C(1，)在椭圆E上，得+=1．解得a2=3，这与a＞b矛盾．C(1，)

综上可知，椭圆E的方程为+=1．                               …（4分）

解法二：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），

将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得解得m=，n=．

∴椭圆E的方程为+=1．                                     …（4分）

（Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程+=1并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）

设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），

由根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=．              …（8分）

直线AM的方程为：y=(x+2)，它与直线x=4的交点坐标为P(4，)，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q(4，)．       …（10分）

下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：P

∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

∴-====0．

因此结论成立．

综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                …（14分）

证法二：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆E的方程+=1并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）

设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），

由根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=．              …（8分）

直线AM的方程为：y=(x+2)，即y=(x+2)．

直线BN的方程为：y=(x-2)，即y=(x-2)．   …（10分）

由直线AM与直线BN的方程消去y，得x=====4．

∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                         …（14分）

证法三：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程+=1并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）

设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），

由根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=．              …（8分）

消去k2得，2x1x2=5（x1+x2）-8．                               …（10分）

直线AM的方程为：y=(x+2)，即y=(x+2)．

直线BN的方程为：y=(x-2)，即y=(x-2)．     …（12分）

由直线AM与直线BN的方程消去y得，x===4．

∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                     …（14分）

（Ⅰ）由题意得b=2，=

结合a2=b2+c2，解得a2=12

所以，椭圆的方程为+=1．…（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=(x1，y1)，=(x2，y2)．

①当x1=x2=2时，斜率不存在时，不妨令=(2，)，=(2，-)

∴•=4-=＞0，∠AOB为锐角成立 …（6分）

②当x1≠x2时，设直线l的方程为：y=k（x-2）

由得x2+3k2（x-2）2=12

即（1+3k2）x2-12k2x+12k2-12=0．

所以x1+x2=，x1x2=，…（8分）

∴y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=-

∴•=x1x2+y1y2=＞0                                 …（10分）

解得k＞或k＜-．…（12分）

综上，直线l倾斜角的取值范围是（，）．…（13分）

（Ⅰ）由 =e2==1-，得 =．…（2分）

依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分）

所以椭圆C的方程是+=1．…（5分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．

将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m2+9）y2+16my-20=0．…（7分）

所以 y1+y2=，y1y2=．…（8分）

若PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0．…（9分）

设P（a，0），则有 +=0．

将 x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得 =0，

所以 2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0．…（12分）

将 y1+y2=，y1y2=代入上式，整理得 （-2a+9）•m=0．…（13分）

由于上式对任意实数m都成立，所以 a=．

综上，存在定点P(，0)，使PM平分∠APB．…（14分）

（1）由已知得a=2，e==，∴c=1，b==，

∴椭圆E的方程为+=1．

（2）由（1）得右焦点F（1，0），因此直线l的方程为y=x-1．

代入椭圆方程并整理得7x2-8x-8=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，

∴y1+y2=（x1-1）+（x2-1）=（x1+x2）-2=-．

∴=λ（+）=λ（x1+x2，y1+y2）=λ（，-），

∴P点坐标为（，-），

代入椭圆方程，可得+=1，

∴λ2=，解得λ=±．