热门试卷

（1）∵F1、F2、B1、B2四点共圆，

∴b=c，

∴a2=b2+c2=2b2，

设椭圆的方程为+=1，N（0，3）

设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|2=x2+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b），

①若0＜b＜3，|HN|2的最大值b2+6b+9=50得 b=-3±5 （舍去），

②若b≥3，|HN|2的最大值2b2+18=50得b2=16，

∴所求的椭圆的方程为：+=1．

（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入+=1得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2-32）=0．

由直线l与椭圆相交于不同的两点知△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-32）＞0，

m2＜32k2+16．②

要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须KPQ=-

设A（x1，y1）B（x2，y2），则xQ==-，yQ=kxQ+m=

∵KPQ==-

解得m=．③

由②、③得＜32k2+16

∴-＜k2＜，

∵k2＞0，

∴0＜k2＜

∴-＜k＜0或0＜k＜

故当-＜k＜0或0＜k＜时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．

（1）设P（x0，y0）（y0≠0），则G（，）

设I（xI，yI），则∵IG∥F1F2，∴yI=

∵|F1F2|=2c，∴S△F1PF2=|F1F2||y0|=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•

∴2c•3=2a+2c

∴e==

∵直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切

∴b=

∴b=

∴a=2

∴椭圆的方程为+=1；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

直线方程代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

由△＞0，可得m2＜4k2+3

∵x1+x2=-

∴y1+y2=

∴线段AB的中点R的坐标为（-，）

∵线段AB的垂直平分线l′的方程为y=-(x-)，R在直线l′上，

∴=-(--)

∴m=-(4k2+3)

∴[-(4k2+3)]2＜4k2+3

∴k2＞

∴k＞或k＜-．

（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为+=1，

由x+y-=0得y=-x，代入+=1消去y并整理得，（(2a2-1)x2-2a2x+8a2-a4=0，

由△=28a4-4（2a2-1）（8a2-a4）=8a2（a4-5a2+4）=0，解得a2=1或a2=4，

因为a2＞1，所以a2=4，

所以椭圆方程为：+=1．

（Ⅱ）设过F1的直线：x=my-1，代入+=1消去x并整理得（3m2+4）y2-6my-9=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，

所以|y1-y2|==，

S△ABF2=×2c|y1-y2|=|y1-y2|==，

令t=，则t≥1，S△ABF2=，

又(3t+)′=3-＞0，所以3t+递增，(3t+)min=3×1+1=4，当t=1即m=0时取等号，

所以S△ABF2≤=3，

当m=0时，面积S最大为3，此时直线方程为x=-1．