椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

已知椭圆的两焦点为F1(-，0)， F2(，0)，P为椭圆上一点，且|PF1|+|PF2|=4

（1）求此椭圆方程．

（2）若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积（要有详细的解题过程）

正确答案

（1）依题意得c=，2a=4，

解得a=2，c=，从而b=1．

故椭圆的方程为 +=1．

（2）在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos60°，

∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=(2c)2=(2)2=12 ①

又|PF1|+|PF2|=2a=4，平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=16，=2 ②，

②-①得3|PF1|•|PF2|=4，即 |PF1|•|PF2|=，

∴△F1PF2的面积 S=|PF1|•|PF2|sin60°=．

∴∠F1PF2=，△F1PF2的面积．

题型：简答题

简答题

设F1，F2分别为椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1，）到F1，F2两点的距离之和等于4．

（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程；

（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程．

正确答案

（1）椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，

又点A（1，）在椭圆上，因此+=1，得b2=1，于是c2=3，

所以椭圆C的方程为+y2=1，F1(-，0)，F2(，0)，…（4分）

（2）显然直线DE斜率存在，设为k，方程为y-=k(x-1)，设D（x1′，y1′），E（x2′，y2′），则

由，消去y可得(1+4k2)x2+(2k-8k2)x+4k2-2k-=0

∴==1，∴k=-1

∴DE方程为y-1=-1（x-），即4x+4y=5；…（9分）

（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得（m2+4）y2+2my-3=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=-，y1y2=-，且△＞0成立．

又S△OMN=|y1-y2|=×=，

设t=≥，则S△OMN=，

（t+）′=1-t-2＞0对t≥恒成立，∴t=时，t+取得最小，S△OMN最大，此时m=0，

∴MN方程为x=1；…（14分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆的短轴长为2，焦点坐标分别是（-1，0）和（1，0），

（1）求这个椭圆的标准方程；

（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．

正确答案

（1）由题得椭圆的焦点在X轴上且2b=2，c=1

∴b=，a2=b2+c2=4．

∴椭圆的标准方程：+=1．

（2）由消去Y整理得：7x2+8mx+4m2-12=0．

由直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点得△=（8m）2-4×7×（4m2-12）＞0⇒m2＜7⇒-＜m＜．

所以m的取值范围是（-，）．

题型：填空题

填空题

过点（3，-2）且与+=1有相同焦点的椭圆是______．

正确答案

∵椭圆+=1中，c2=9-4=5

∴椭圆+=1的焦点为（±，0）

设所求的椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），根据题意，

得，所以a2=15，b2=10

因此，所求的椭圆方程为+=1

故答案为：+=1

题型：简答题

简答题

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，左焦点F1到直线l：x-y-3=0的距离等于长半轴长．

（I）求椭圆C的方程；

（II）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，O），求实数m的取值范围．

正确答案

（I）由已知=，可得F1（-a，0），

由F1到直线l的距离为a，所以=a，

解得a=2，所以c=1，b2=a2-c2=3，得b=，

所以所求椭圆C的方程为+=1；

（II）由（I）知F2（1，0），设直线l的方程为：y=k（x-1），

由消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

因为l过点F2，所以△＞0恒成立，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2-2）=，

所以MN中点（，），

当k=0时，MN为长轴，中点为原点，则m=0，

当k≠0时MN中垂线方程为y+=-(x-)，

令y=0，得m==，

因为＞0，所以+4＞4，可得0＜m＜，

综上可知实数m的取值范围是[0，）．

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