热门试卷

（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0），

∴=( x-4 ， y )，=( -3 ， 0 )，=( x-1 ， y )． …（3分）

由 • =6||，得-3( x-4 )=6，…（4分）

∴（x2-8x+16）=4（x2-2x+1）+4y2，故3x2+4y2=12，即+=1，

∴轨迹C是焦点为（±1，0）、长轴长2a=4的椭圆；            …（7分）

评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣（1分）．

（2）椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l：x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l1与直线l的距离．

设直线l1的方程为x+2y+m=0（m≠-12）．            …（8分）

由，消去y得4x2+2mx+m2-12=0（*）．

依题意得△=0，即4m2-16（m2-12）=0，故m2=16，解得m=±4．

当m=4时，直线l1：x+2y+4=0，直线l与l1的距离d==．

当m=-4时，直线l1：x+2y-4=0，直线l与l1的距离d==．

由于＜，故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为．…（12分）

当m=-4时，方程（*）化为4x2-8x+4=0，即（x-1）2=0，解得x=1．

由1+2y-4=0，得y=，故Q( 1 ，  )．                     …（13分）

∴曲线C上的点Q( 1 ，  )到直线l的距离最小．   …（14分）

（1）由题意有2a=4，a=2，e==，c=1，b2=3

∴椭圆的标准方程为 +=1…（3分）

（2）直线AB与x轴垂直，则直线AB的方程是x=1

则A（1，）B（1，-），M（2，0）

AM、BM与x=1分别交于P、Q两点，A，M，P三点共线，

，共线             …（4分）

可求P（4，-3），∴=(3，-3)，

同理：Q（4，3），=(3，3)

∴•=0命题成立．                     …（5分）

（3）若直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y=2（x-1），

又设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）

联立消y得 19x2-32x+4=0

∴x1+x2=，x1x2=

∴y1y2=4(x1-1)(x2-1)=…（7分）

又∵A、M、P三点共线，

∴y3=同理y4=

∴=(3，)，=(3，)

∴•=9+=0

综上所述：•=0，结论仍然成立…（10分）

（1）∵是标准方程，∴其焦点应该在坐标轴上，

∴令x=0，代入射线x-y+1=0，解得其焦点坐标为（0，1）

当焦点为（0，1）时，可知P=2，∴其方程为x2=4y．

（2）设A(x1，)，B(x2，

x2

4

2)

过抛物线A，B两点的切线方程分别是y=x-x12，y=x-

x2

4

2

其交点坐标M(，)

设AB的直线方程y=kx+1代入x2=4y，得x2-4kx-4=0

∴x1x2=-4，M(，-1)，所以点M的轨迹为y=-1

∵=(x1，-1)，=(x2，-1)

∴•=x1x2+(-1)(-1)=-(+)-2

而=(-0)2+(-1-1)2=(+)+2

∴=-1．