热门试卷

（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）

∵右焦点到直线x+y+=0的距离为2，

∴=2

∴c=

∵椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，

∴=

∴a=2

∴b==

∴椭圆的方程为+=1；

（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）

∵=-，

∴(x1-x0，y1)=-(x2-x0，y2）

∴y1=-y2①

易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立

于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．

与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1-8k2=0②

∴y1+y2=-③y1y2=④

由①③可得y2=，y1=-代入④整理可得：8k4+k2-9=0

∴k2=1

此时②为5y2+2y-7=0，判别式大于0

∴直线l的方程为y=±x-1

（1）设点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），

则=(3+c，1)，=(3-c，1)，

故•=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，可得c=4，

所以2a=|PF1|+|PF2|=+=6，

故a=3，b2=a2-c2=18-16=2，

所以椭圆E的方程为+=1．　　　　　　

（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），

则=(9，m)，=(1，n)，又⊥，

可得•=9+mn=0，即mn=-9，

又|MN|=|m-n|=|m|+|n|≥2=2=6，（当且仅当|m|=|n|时取等号）

故Smin=π()2=9π，且当S取最小值时，

有m=3，n=-3或m=-3，n=3，

此时圆C的方程为（x-5）2+y2=9．

（1）m=1时，抛物线C1：y2=4x，焦点为F2 （1，0）． 由于椭圆离心率e=，c=1，

故 a=2，b=，故所求的椭圆方程为  +=1．

（2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，设直线L的斜率为k，则直线L的方程为 y-0=k（x-2），

代入抛物线C1：y2=4x 化简得 k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，∴x1+x2= 4+，x1x2=4，

∴|A1A2|=•= =6，解得  K=±．

（3）假设存在实数m，△PF1F2的边长是连续自然数，经分析在△PF1F2中|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，

则|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1． 由抛物线的定义可得|PF2|=2m-1=xP-（-m），∴xP=m-1．

把P(m-1，)代入椭圆+=1，解得m=3．故存在实数m=3 满足条件．

（Ⅰ）由e2=1-=及+=1，

解得a2=4，b2=3，…（1分）

椭圆方程为+=1； …（2分）

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由+=m得

（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），

即…（3分）

又+=1，+=1，

两式相减得kAB==-×=-×=-；…（5分）

（Ⅱ）证明：设AB的方程为 y=-x+t，

代入椭圆方程得：x2-tx+t2-3=0，…（6分）

△=3（4-t2），|AB|=×=×，

点P到直线AB的距离为d=，

S△PAB=|2-t|=（-2＜t＜2）． …（8分）

令f（t）=3（2-t）3（2+t），

则f’（t）=-12（2-t）2（t+1），

由f’（t）=0得t=-1或2（舍），

当-2＜t＜-1时，f’（t）＞0，

当-1＜t＜2时f’（t）＜0，

所以当t=-1时，f（t）有最大值81，

即△PAB的面积的最大值是；                 …（10分）

根据韦达定理得 x1+x2=t=-1，

而x1+x2=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，

于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，

因此△PAB的重心坐标为（0，0）．        …（12分）