热门试卷

（1）α=0时，表示两条平行的直线，方程为y=±1； 2分

（2）α∈(0，)时，0＜sinα＜cosα，表示焦点在x轴上的椭圆；2分

（3）α=时，sinα=cosα=，表示圆；2分

（4）α∈(，)时，sinα＞cosα＞0，表示焦点在y轴上的椭圆；2分

（5）α=时，表示两条平行的直线，方程为x=±1；2分

（6）α∈(，π)时，sinα＞0，cosα＜0，表示焦点在x轴上的双曲线；2分

（7）α=π时，sinα=0，cosα=-1，不表示任何曲线．2分．

（1）由题意可知解得

所以椭圆C1的方程是+=1．

（2）∵|MP|=|MF2|，∴动点M到定直线l1：x=-1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，

所以点M的轨迹C2的方程y2=4x．

（3）∵以OS为直径的圆C2相交于点R，∴以∠ORS=90°，即•=0．

设S （x1，y1），R（x2，y2），=(x2-x1，y2-y1)，=(x2，y2)．

∴•=x2（x2-x1）+y2（y2-y1）=+y2(y2-y1)=0，

∵y1≠y2，y2≠0，化简得y1=-(y2+)，

∴=++32≥2+32=64，

当且仅当=，即=16，y2=±4时等号成立．

圆的直径|OS|====，

∵≥64，∴当=64，y1=±8，|OS|min=8，

所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）．

（1）由题意，设椭圆C：+=1（a＞b＞0），则2a=4，a=2．

∵点（2，1）在椭圆+=1上，

∴+=1，解得b=，

∴所求椭圆的方程为+=1．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＜0，y2＞0），点F的坐标为F（3，0），

由=3，得3-x1=3（x2-3），-y1=3y2，即x1=-3x2+12，y1=-3y2①．

又A、B在椭圆C上，

∴+=1，+=1，

解得x2=，y2=，

∴B（，），代入①得A（2，-）．

设过O、A、B三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则将O、A、B三点的坐标代入得

F=0，6+2D-E+F=0，+D+E+F=0，

解得D=-，E=-，F=0，

故过O、A、B三点的圆的方程为x2+y2-x-y=0．

（Ⅰ）由题意得 ，又a＞b＞0，解得  a2=5，b2=4．

因此所求椭圆的标准方程为    +=1．

（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（xA，yA）．

解方程组得=，=，

所以|OA|2=+=+=．

设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），

所以|MO|2=λ2|OA|2，即x2+y2=λ2，

因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y=-x，即k=-，

因此x2+y2=λ2=λ2，

又x2+y2≠0，所以5x2+4y2=20λ2，故+=λ2．

又当k=0或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，M的轨迹方程为+=λ2(λ≠0)．

（2）当k存在且k≠0时，由（1）得=，=，

由

解得=，=，

所以|OA|2=+=，|AB|2=4|OA|2=，|OM|2=．

由于=|AB|2•|OM|2=××=≥==()2，

当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=±1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是S△AMB=．

当k=0，S△AMB=×2×2=2＞．

当k不存在时，S△AMB=××4=2＞．

综上所述，△AMB的面积的最小值为．