热门试卷

（1）由题意，2c=4，=，∴c=2，a=2

∴b2=a2-c2=4，∴椭圆E的方程为+=1；

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，

设该圆的切线方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．

由，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则△=8（8k2-m2+4）＞0，∴8k2-m2+4＞0

x1+x2=-，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=

要使⊥，只需x1x2+y1y2=0，即+=0，所以3m2-8k2-8=0，

所以k2=≥0

又8k2-m2+4＞0，所以，所以m2≥，即m≥或m≤-，

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r2==，

所以所求的圆为x2+y2=，此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-；

当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为（，±）或（-，±）满足⊥，

综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥．

因为x1+x2=-，x1x2=，

所以|AB|=|x1-x2|=，

当k≠0时，|AB|=

因为4k2++4≥8，所以0＜≤，所以|AB|≤2

当k=0时，或斜率不存在时，计算得|AB|=．

综上可得|AB|max=2

解 （1）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，则b=1．

设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得3=，得c=．

则a2=b2+c2=3，

∴椭圆方程为+y2=1．

（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件；

故可设直线l：y=kx+(k≠0)，与椭圆+y2=1联立，消去y得：(1+3k2)x2+9kx+=0．

由△=(9k)2-4(1+3k2)•＞0，得k2＞．

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），

由韦达定理得x1+x2=-，而y1+y2=k(x1+x2)+3=-+3．

则x0=，y0=

由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，kBP====-，

可求得k2=，检验k2=∈(，+∞)，所以k=±，

所以直线l的方程为y=x+或y=-x+．

（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，c=e•a=×=，故b===，

所以，椭圆E的方程为+=1，即x2+3y2=5．

（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），

代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则

x1+x2=-，x1x2=；

∴•=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m--，

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=-；

所以，存在点M（-，0）满足题意．

（Ⅰ）由题意可知：椭圆C的焦点在x轴上，b=4，可设椭圆的方程为+=1，

   又离心率e==，及a2=42+c2，解得，

∴椭圆的方程为+=1．

（Ⅱ）∵kOP==1，∴可设与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程为y=x+t．

联立，消去y得到关于x的方程41x2+50tx+25t2-400=0，（*）

∴△=0，即2500t2-4×41×（25t2-400）=0，化为  t2=41，解得t=±．

∴切线方程为y=x±．

把t=±代入（*）解得x=±，代入y=x+t求得Q(，-)，或(-，)．

上面这两个点的坐标都满足是得△OPQ的面积最大．