椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

从椭圆 +=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=+，求椭圆的方程．

正确答案

∵AB∥OP

∴=⇒PF1=

又∵PF1⊥x轴

∴+=1⇒y=

∴b=c

由

解得：

∴椭圆方程为+=1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（，），一个焦点是F（0，-）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．

正确答案

（I）一个焦点是F（0，-），故c=，可设椭圆方程为+=1 …（2分）

∵点（，）在椭圆上，∴+=1

∴b2=1，b2=（舍去）

∴椭圆方程为+x2=1 …（4分）

（II）直线MN恒经过定点Q（0，1），证明如下：

当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1），…（6分）

当点P不在y轴上时，设P（t，4），A1（0，2）、A2（0，-2），M（x1，y1），N（x2，y2），

直线PA1方程y=x+2，PA2方程y=x-2，

y=x+2代入+x2=1得（1+t2）x2+2tx=0，

得x1=-，y1=，∴kQM==，…（8分）

y=x-2代入+x2=1得（9+t2）x2-6tx=0

得x2=，y2=，∴kQN==，…（10分）

∴kQM=kQN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）． …（12分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1和F2，过F2的直线L与椭圆C相交 A，B于两点，且直线L的倾斜角为60°，点F1到直线L的距离为2，

（1）求椭圆C的焦距．

（2）如果=2，求椭圆C的方程．

正确答案

（1）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离 c=2 ，故c=2．

所以椭圆C的焦距为4．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y=（x-2）．

联立得（3a2+b2）y2+4 b2y-3b4=0．

解得y1=，y2=．

因为 =2，所以-y1=2y2．

即 =2•．

得a=3．而a2-b2=4，所以b=．

故椭圆C的方程为 +=1．

题型：简答题

简答题

椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

正确答案

（1）当顶点为A（2，0）为长轴端点时，a=2

∵a=2b

∴b=1

椭圆的标准方程为：+y2=1；

（2）当顶点为A（2，0）为短轴端点时，b=2

∵a=2b∴a=4

椭圆的标准方程为：+=1

题型：简答题

简答题

离心率为的椭圆C1的长轴两端点分别是双曲线C2：x2-=1的两焦点．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）直线y=x+m与椭圆C1交于A，B两点，与双曲线C2两条渐近线交于P，Q两点，且P，Q在A，B之间，使|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，求m的值．

正确答案

（1）设椭圆C1的方程为+=1（a＞b＞0），

由题意知a2=1+4=5，所以a=，

又e=，所以=，解得c=，则b2=a2-c2=5-=．

故椭圆C1的方程为+=1．

（2）由，得3x2+4mx+2m2-5=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-m，x1x2=，

所以|AB|=|x1-x2|=•=•=•．

双曲线的渐近线方程为：y=2x，y=-2x，

由解得，由解得，

所以两交点P，Q的坐标为（m，2m），（-，m），

|PQ|==，

因为|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，所以|AP|+|QB|=2|PQ|，所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，

故•=3，解得m=±．

故m的值为±．

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