热门试卷

（1）设点F1关于直线l：2x-y+3=0的对称点A（m，n），

则，

解得，

则A（-，）

∵|PF1|=|PA|，根据椭圆的定义，得2a=|PF1|+|PF2|=|AF2|==2，

∴a=，c=1，b==1．

∴椭圆C的方程为+y2=1．

（2）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则+=1，切线AM、BM方程分别为x1x+y1y=1，x2x+y2y=1，

∵切线AM、BM都经过点M（x0，y0），

∴x1x0+y1y0=1，x2x0+y2y0=1．

∴直线AB方程为x0x+y0y=1，

∴P(0，)、Q(，0)，

|PQ|2=+=(+)(+)=+1++≥+=()2，

当且仅当=时，上式等号成立．

∴|PQ|的最小值为．

（Ⅰ）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，

∵椭圆的长轴长为4，

∴a=2，

∵点A是长轴的一个顶点，

∴A（2，0），

∵•=0，||=2||．

∴△AOC是等腰直角三角形，从而C（1，1），

代入椭圆方程得+=1⇒b2=，

∴椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）设直线lPC：y=kx+1-k（k≠0）

与椭圆方程+=1联立得到（3k2+1）x2+6k（1-k）x+3（1-k）2-4=0

则△=[6k（1-k）]2-4（3k2+1）[3（k-1）2-4]=4（3k+1）2＞0从而k≠-且k≠0

设点P（x1，y1），而C（1，1），由韦达定理知1+x1=⇒x1=

代回lPC：y=kx+1-k得到y1=

∵直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形

∴直线CP、CQ的斜率互为相反数，即k≠-，k≠且k≠0

故设点Q（x2，y2），同理可知x2=，y2=

所以=(，)

∵椭圆是中心对称图形

∴B（-1，-1），=(-3，-1)

故=-，即总存在实数λ使=λ

（1）由题意得：解得a=，b=

所以椭圆的方程为+=1

（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．

因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）

又因为PA与圆O相切，所圆心（0，0）到直线PA的距离为

即=，

可得k=或k=

所以直线PA的方程为：x-3y+10=0或13x-9y-50=0

（3）设∠AOP=α，

则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，

则cos∠AOB=2cos2α-1=-1，

∴•=•cos∠AOB=-10

∴（•）max=-，（•）min=-

（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）．

依题意，e==，c=1，∴a=2，b2=a2-c2=3，

∴所求椭圆方程为+=1；

（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足=2．

当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．

因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程消去y，得（3k2+4）x2+6kx-9=0．

∴x1+x2=，①x1•x2=，②

由F（0，1），A（x1，y1），B（x2，y2），

则=(-x1，1-y1)，=(x2，y2-1)，

∵=2，∴（-x1，1-y1）=2（x2，y2-1），得x1=-2x2．

将x1=-2x2代入①、②，得x2=，③x22=，④

由③、④得，()2=，化简得=，

解得k2=，∴k=±

∴直线l的方程为：y=±x+1．