热门试卷

∵椭圆+=1的焦点在x轴上，∴0＜k＜6     ①

∵过点M（2，1）的直线与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点

∴点M（2，1）在椭圆+=1内或其上，即+≤1  ②

由①②得3≤k＜6

∴命题p等价于k∈[-3，6）

∵方程+=1表示双曲线

∴（k-4）•（k-6）＜0⇒4＜k＜6，

∴命题q等价于k∈[4，6）

∵[-3，6）⊃[4，6）

∴p是q的必要不充分条件．

（Ⅰ）由已知2a=4，=．解得a=2，c=1，所以b2=a2-c2=3，

故椭圆的方程为+=1．…（5分）

（Ⅱ）由M，N不与椭圆的顶点重合，设直线l的方程为y=kx-2，代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-16kx+4=0，

由△=（-16k）2-16（4k2+3）=12k2-3＞0，得k＜-或k＞              …（8分）

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=+4

由（Ⅰ）得椭圆C的右顶点A（2，0），

因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，

所以kAMkAN=-1，

∴•=-1，

∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，

∴+4+-+4=0，

∴k2-8k+7=0，解得k=7或k=1

当k=1时，l：y=x-2，直线过椭圆C的右顶点A（2，0），舍去；

当k=7时，l：y=7x-2．

综上可知，直线l的方程是y=7x-2      …（14分）

（1）因为=，2b=2，a2=b2+c2，

解得a=3，b=，所以椭圆方程为+=1． 

（2）假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH

因为OG2+OH2=GH2，故+=，

当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，

由，得，所以OG2=，

同理可得OH2= （将OG2中的K换成-可得）

+==，R=，

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得+==，

故满足条件的定圆方程为：x2+y2=．

解（1）由题意c2=．设|PF1|+|PF2|=2a（a＞），由余弦定理，

得cos∠F1PF2=

=

==-1．

又|PF1|•|PF2|≤()2=a2，

当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|•|PF2|取最大值，

此时cos∠F1PF2取最小值-1，

令-1=0，

解得a2=1，∵c=，∴b2=，

故所求P的轨迹方程为+=1．即y2+2x2=1；

（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0．

则△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0．

x1+x2=，x1x2=，

因为=3，所以-x1=3x2，所以，

所以3(x1+x2)2+4x1x2=0，即k2（4m2-1）+（2m2-2）=0

当m2=时，上式不成立；

当m2≠时，k2=＞0；

把k2=代入△=4（k2-2m2+2）＞0，

得：4(-2m2+2)＞0．

解得m的取值范围为(-1，-)∪(，1)．