- 函数的最值与导数的关系
- 共6078题
设函数f（x）满足f（ex）=x-ex，若对x∈（0，+∞）都有a≥f（x），则实数a的取值范围是______．
正确答案
[-1，+∞）
解析
解：令t=ex（t＞1），则f（t）=lnt-t，
∴f（x）=lnx-x（x＞1），
∴f′（x）=
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∵f（1）=-1，∴a≥-1．
故答案为：[-1，+∞）．
如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．
（1）求正四棱锥的体积V（x）；
（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值？
正确答案
解 （1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．则
由于切去的是等腰三角形，所以AN=
在直角三角形AON中，AO=
所以V（x）=
（不写0＜x＜1扣1分）
（2）V′（x）=
令V′（x）=0，得x=1（舍去），x=
当x∈（0，
当x∈（
所以函数V（x）在x=
答：当x为
说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣（1分），没有答扣（1分）．
解析
解 （1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．则
由于切去的是等腰三角形，所以AN=
在直角三角形AON中，AO=
所以V（x）=
（不写0＜x＜1扣1分）
（2）V′（x）=
令V′（x）=0，得x=1（舍去），x=
当x∈（0，
当x∈（
所以函数V（x）在x=
答：当x为
说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣（1分），没有答扣（1分）．
函数f（x）=6-12x+x3在区间[-3，1]上的最大值是______；最小值是______．
正确答案
22
-5
解析
解：f′（x）=-12+3x2=3（x+2）（x-2），
当-3≤x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当-2＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
所以当x=-2时f（x）取得极大值，即最大值，为f（-2）=22；
又f（-3）=15，f（1）=-5，
所以f（x）的最小值为f（1）=-5．
故答案为：22；-5．
已知函数
（1）若a=-2，求f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[-1，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
正确答案
解：f′（x）=）=x2-ax-2a2．
（1）当a=-2时，
∴f′（x）=x2+2x-8，令f′（x）=0，得x=2或x=-4（舍去）．
∴在区间[0，2）上，f′（x）＜0；在区间（2，3]上，f′（x）＞0．
∴f（x）在区间[0，2）上单调递减，在区间（2，3]上单点递增．
∴函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=-9，也即最小值是-9．
又f（0）=
∴f（x）在区间[0，3]上的最大值是
（2）要使f（x）在区间[-1，1]上是减函数，只须在区间[-1，1]上，f′（x）≤0．
又f′（x）=（x-2a）（x+a），令f′（x）=0，则x=2a或x=-a．
①当a＞0时，有2a＞-a，要使f′（x）≤0，则只须
②当a＜0时，有2a＜-a，要使f′（x）≤0，则只须{
综上，实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．
解析
解：f′（x）=）=x2-ax-2a2．
（1）当a=-2时，
∴f′（x）=x2+2x-8，令f′（x）=0，得x=2或x=-4（舍去）．
∴在区间[0，2）上，f′（x）＜0；在区间（2，3]上，f′（x）＞0．
∴f（x）在区间[0，2）上单调递减，在区间（2，3]上单点递增．
∴函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=-9，也即最小值是-9．
又f（0）=
∴f（x）在区间[0，3]上的最大值是
（2）要使f（x）在区间[-1，1]上是减函数，只须在区间[-1，1]上，f′（x）≤0．
又f′（x）=（x-2a）（x+a），令f′（x）=0，则x=2a或x=-a．
①当a＞0时，有2a＞-a，要使f′（x）≤0，则只须
②当a＜0时，有2a＜-a，要使f′（x）≤0，则只须{
综上，实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．
已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|．
（Ⅰ） 当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ） 判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，当a=1时，f（x）=x2|x-1|，
当x≤1时，由f（x）=x2（1-x）=x，解得x=0；
当x＞1时，由f（x）=x2（x-1）=x，解得
综上，所求解集为
（Ⅱ）可以对a进行如下分类讨论：
（1）当a=0时，f（x）=x2|x|=f（-x），x∈R，显然，函数f（x）是偶函数．
（2）当a≠0时，令x=±1可得：f（1）=|1-a|，f（-1）=|-1-a|=|1+a|
显然f（1）≠f（-1）≠-f（1），
故函数f（x）是非奇非偶函数．
（Ⅲ）设此最小值为m，当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax2-x3，
（1）若a≥3，在区间（1，2）内f‘（x）＞0，从而f（x）为区间[1，2]上的增函数，
由此得m=f（1）=a-1．
（2）若2＜a＜3，则
当
当
因此，当2＜a＜3时，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
当
当
综上所述，所求函数的最小值m=
解析
解：（Ⅰ）由题意，当a=1时，f（x）=x2|x-1|，
当x≤1时，由f（x）=x2（1-x）=x，解得x=0；
当x＞1时，由f（x）=x2（x-1）=x，解得
综上，所求解集为
（Ⅱ）可以对a进行如下分类讨论：
（1）当a=0时，f（x）=x2|x|=f（-x），x∈R，显然，函数f（x）是偶函数．
（2）当a≠0时，令x=±1可得：f（1）=|1-a|，f（-1）=|-1-a|=|1+a|
显然f（1）≠f（-1）≠-f（1），
故函数f（x）是非奇非偶函数．
（Ⅲ）设此最小值为m，当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax2-x3，
（1）若a≥3，在区间（1，2）内f‘（x）＞0，从而f（x）为区间[1，2]上的增函数，
由此得m=f（1）=a-1．
（2）若2＜a＜3，则
当
当
因此，当2＜a＜3时，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
当
当
综上所述，所求函数的最小值m=
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