热门试卷

解：（Ⅰ）∵f′（x）=，

设切点为（x0，y0），则切线斜率为，

∴切线方程为y-y0=（x-x0），

又∵原点在切线上，

∴=x0，

∴x0=；

（Ⅱ）令g（x）=0，得m=f（x）lnx，

令h（x）=f（x）lnx，

∴h′（x）=，（≤x≤e2），

令h′（x）＞0，解得：1＜x＜e2，

令h′（x）＜0，解得：＜x＜1，x＞e2，

∴h（x）在[，1），（e2，+∞）递减，在（1，e2）递增，

又h（1）=0，h（）=e＞h（e2）=，

故m＜0，或m＞e时，g（x）没有零点，

m=0或＜m≤e时，g（x）有一个零点，

0＜m≤时，g（x）有两个零点．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知x＞1时，ln2[（n+p）x]（n+p）x成立，

又n，p∈N*，∴x＞1时，ln2[（n+p）x]≤（n+p）x成立，

又当x∈[e，e2]时，（n+p）x≤4（n+p），

故当x∈[e，e2]时，ln2[（n+p）x]≤4（n+p），

而对|sn+p（x）-sn（x）|=++…+

≤++…+

=4[++…+]

＜4[++…+]

=4（-）＜，

综上，sn（x）在区间[e，e2]上是“高效”的．

解：（1）∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，

∴f（0）=c=0，

求导函数可得：f′（x）=3x2+2ax+b，

∵在x=1处的切线为直线．

∴f（1）=1+a+b=-，f′（1）=3+2a+b=0，

∴a=-，b=0，

∴f（x）=x3-x2，

（2）f（x）=x3-x2，f′（x）=3x2-3x=3x（x-1），

令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；

∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，

∴函数在x=0处取得极大值0，

令f（x）=x3-x2=0，可得x=0或x=，

∴0＜m＜时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；

m≥时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值．

解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0

即-ax-+c+ax++c=0∴c=0

由f（1）=，f（2）=，得a+b=，2a+=解得a=2，b=

∴a=2，b=，c=0

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+，∴f′（x）=2-

当x∈（0，）时，0＜2x2＜，＞2

∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0，）上为减函数．

（Ⅲ）由f′（x）=2-=0，x＞0得x=

∵当x＞，＜2，

∴f′（x）＞0，

即函数f（x）在区间（，+∞）上为增函数．在（0，）上为减函数．

所以f（x）的最小值=f（）=2．

解：（1）当时，为增函数． …（1分）

当时，f‘（x）=3x2．

令f'（x）＞0，得x＞a或x＜-a．…（3分）

∴f（x）的增区间为（-∞，-a），和（a，+∞）．…（4分）

（2）函数的图象如图，由图可知，

①当1＜a＜2时，，f（x）在区间[1，a]上递减，在[a，2]上递增，最小值为f（a）=4a3；…（6分）

②当0＜a≤1时，f（x）在区间[1，2]为增函数，最小值为f（1）=1+3a4；…（8分）

③当a=2时，f（x）在区间[1，2]为减函数，最小值为f（a）=4a3； …（9分）

综上，f（x）最小值．  …（10分）

（3）由f（x）f（2t-x）+f2（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t），

可得[f（t）-f（x）][f（t）-f（2t-x）]≥0，…（12分）

即或成立，所以t为极小值点，或t为极大值点．

又时，f（x）没有极大值，所以t为极小值点，即t=a…（16分）

（若只给出t=a，不说明理由，得1分）