热门试卷

解：（Ⅰ）令f′（x）=6x2-3=0解得，x=±，

则f（x）在x=-时取得极大值，

∵f（-）=，f（1）=2-3=-1，

则f（x）在区间[-2，1]上的最大值为．

（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x，2x3-3x），

则=6x2-3，

化简得，4x3-6x2+3+t=0，

令g（x）=4x3-6x2+3+t，

则令g′（x）=12x（x-1）=0，

则x=0，x=1．

g（0）=3+t，g（1）=t+1，

又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，

则（t+3）（t+1）＜0，

解得，-3＜t＜-1．

（Ⅰ）证明：（ⅰ）f′（x）=12a（x2-）

当b≤0时，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a-b|﹢a；

当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，f‘（x）在区间[0，1]先负后可能正，f（x）图象在[0，1]区间内是凹下去的，所以最大值正好取在区间的端点，此时最大值为：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a；

（ⅱ） 要证f（x）+|2a-b|+a≥0，即证g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a．

亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a，

∵g（x）=-4ax3+2bx+a-b，∴令g′（x）=-12ax2+2b=0，

当b≤0时，；g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，

此时g（x）的最大值为：g（0）=a-b＜3a-b=|2a-b|﹢a；

当b＞0时，g′（x）在0≤x≤1上的正负性不能判断，

∴g（x）max=max{g（），g（1）}={}=

∴g（x）max≤|2a-b|﹢a；

综上所述：函数g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a．

即f（x）+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．

∵-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，

∴|2a-b|﹢a≤1．

取b为纵轴，a为横轴，则可行域为：或，目标函数为z=a+b．

作图如右：

由图易得：a+b的取值范围为（-1，3]

解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+∞）

b=-12时，由，得x=2（x=3舍去），

当x∈[1，2）时f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，

所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，

所以f（x）min=f（2）=4-12ln3

（2）由题意在（-1，+∞）有两个不等实根，

即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，

设g（x）=2x2+2x+b，则，解之得