热门试卷

解：（1）∵f（x）=ax3-lnx，∴f′（x）==，x＞0，

当a≤0时，，

f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，不存在极小值．

当a＞0时，令f′（x）=0，得x=，

x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

∴x=是函数f（x）的极小值点，

f（x）的极小值为f（）=，

解得a=．

（2）由（1）知，当a≤1时，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，

且f（x）在x=0附近趋于无穷大，而f（1）=a≤0，

由零点存在定理知f（x）在（0，1]内存在一个零点，

|f（x）|≥1不恒成立．

当a＞0时，若|f（x）|≥1恒成立，则|f（1）|≥1，即a≥1，

结合（1）知a≥1时，函数f（x）在（0，1]内先减后增，

要使|f（x）|≥1恒成立，则f（x）的极小值大于或等于1成立，

∴，

解得a，

综上，a的取值范围是[，+∞）．

解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），

a=-6时，由f‘（x）=2x+1-==0，得x=1（x=-舍去），

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，3]时，f′（x）＞0，

所以当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；当x∈（1，3]时，f（x）单调递增，

所以f（x）min=f（1）=2-6ln2，f（x）max=f（3）=12-12ln2，

（2）由题意f'（x）=2x+1+==0在（-1，+∞）有两个不等实根，

即2x2+3x+1+a=0在（-1，+∞）有两个不等实根，

设g（x）=2x2+3x+1+a，则 ，解之得0＜a＜；

（3）对于函数g（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-g（x）=x3-x2+ln（x+1）

则h′（x）=3x2-2x+=，

∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0

所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，

又h（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0

即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．

取x=∈（0，+∞），则有ln（ +1）＞-恒成立．

即不等式（n∈N*）恒成立

解：（1）当a=-1时，函数f（x）=x2lnx+x2-1，则f（1）=0，

函数的导数f′（x）=2xlnx+3x，

则f′（1）=3，

则曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=3（x-1）=3x-3；

（2）当x≥1时，由f（x）≥0得x2lnx-a（x2-1）≥0，

当x=1时，不等式成立，

当x≠1时，得a≤，x≥1，

设g（x）=，x≥1，

则函数的导数为g′（x）=，

问题转换为求函数g（x）=（x^2lnx）/（x^2-1）的最小值；

令h（x）=x（x2-1-2lnx），

则h‘（x）=3x2-2lnx-3，

h''（x）=6x-，

∵x＞1，∴h′′（x）＞0

即h'（x）为增函数

则h'（x）＞h'（1）=0

h（x）为增函数，

则h（x）＞h（1）=0

即g'（x）＞0即g（x）为增函数，

∵=（用洛必达法则），

则a≤

综上所述：a∈（-∞，]