- 函数的最值与导数的关系
- 共6078题
已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值．
正确答案
解析
解：（1）f′（x）=
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a，
令f′（x）＞0，x＞1-a；f（x）为增函数；
f′（x）＜0，-a＜x＜1-a，f（x）为减函数；
∴x=1-a时，函数取得极小值也是最小值，
∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1-a）=1-a=0，得a=1；
（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意；
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx2，即g（x）=x-ln（x+1）-kx2，
求导函数可得g′（x）=
令g′（x）=0，可得x1=0，x2=
当k≥
∴g（x）≤g（0）=0，
∴对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；
当0＜k＜
g（x）在（0，
g（x）在（
因此存在x0∈（0，
可得x0-ln（x0+1）≥kx02，即f（x0）≥kx02，与题矛盾；
∴综上：k≥
∴实数k的最小值为：
已知函数f（x）=2ax3+bx2-6x在x=±1处取得极值
（1）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）试求函数f（x）在x=-2处的切线方程；
（3）试求函数f（x）在区间[-3，2]上的最值．
正确答案
解：（1）f‘（x）=6ax2+2bx-6，
在x=1处取得极值，则f′（1）=6a+2b-6=0；
在x=-1处取得极值，则f′（-1）=6a-2b-6=0；
解得a=1；b=0；
∴f（x）=2x3-6x；
f′（x）=6x2-6，
由f′（x）=6x2-6=0，得x=±1．
列表：
∴f（1）是极小值；f（-1）是极大值．
（2）f′（-2）=6×22-6=18；
在x=-2处的切线斜率为18；
而f（-2）=2x3-6x=-4；
∴切线方程y=18x+32；
（3）f（x）=2x3-6x；
f′（x）=6x2-6；
使f′（x）=6x2-6=0，得x=±1，
已经知道了f（1）=-4是极小值，f（-1）=4是极大值，
下面考察区间端点：
f（2）=2x3-6x=4；
f（-3）=2x3-6x=-36
∴最大值是f（-1）=f（2）=4；
最小值是f（-3）=-36．
解析
解：（1）f‘（x）=6ax2+2bx-6，
在x=1处取得极值，则f′（1）=6a+2b-6=0；
在x=-1处取得极值，则f′（-1）=6a-2b-6=0；
解得a=1；b=0；
∴f（x）=2x3-6x；
f′（x）=6x2-6，
由f′（x）=6x2-6=0，得x=±1．
列表：
∴f（1）是极小值；f（-1）是极大值．
（2）f′（-2）=6×22-6=18；
在x=-2处的切线斜率为18；
而f（-2）=2x3-6x=-4；
∴切线方程y=18x+32；
（3）f（x）=2x3-6x；
f′（x）=6x2-6；
使f′（x）=6x2-6=0，得x=±1，
已经知道了f（1）=-4是极小值，f（-1）=4是极大值，
下面考察区间端点：
f（2）=2x3-6x=4；
f（-3）=2x3-6x=-36
∴最大值是f（-1）=f（2）=4；
最小值是f（-3）=-36．
已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当
正确答案
解：（1）当a=1时，f（x）=x2-3x+lnx，
令
则函数f（x）的单调增区间为
（2）f（x）=x2-（2a+1）x+alnx，
令
①当
②当1＜a＜e，x∈（1，a），f'（x）＜0，f（x）单调减．，x∈（a，e），f'（x）＞0，f（x）单调增．
③当a≥e，x∈[1，e]，f'（x）＜0，f（x）单调减，
故函数f（x）在区间[1，e]上的最小值
解析
解：（1）当a=1时，f（x）=x2-3x+lnx，
令
则函数f（x）的单调增区间为
（2）f（x）=x2-（2a+1）x+alnx，
令
①当
②当1＜a＜e，x∈（1，a），f'（x）＜0，f（x）单调减．，x∈（a，e），f'（x）＞0，f（x）单调增．
③当a≥e，x∈[1，e]，f'（x）＜0，f（x）单调减，
故函数f（x）在区间[1，e]上的最小值
给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-mf（x），
（1）求m的值及函数h（x）的单调区间；
（2）求证：当x∈（1，e2）时，恒有
正确答案
解：（1）由题设g（x）=x2-mlnx，则
由已知g′（1）=0，即2-m=0，则m=2，
于是
当
当
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（2）当x∈（1，e2）时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，
欲证
即证f（x）
设F（x）=f（x）-
则
当1＜x＜e2时，F′（x）＞0，
∴F（x）在区间（1，e2）上为增函数，
从而当x∈（1，e2）时，F（x）＞F（1）=0，
即f（x）＞
故
解析
解：（1）由题设g（x）=x2-mlnx，则
由已知g′（1）=0，即2-m=0，则m=2，
于是
当
当
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（2）当x∈（1，e2）时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，
欲证
即证f（x）
设F（x）=f（x）-
则
当1＜x＜e2时，F′（x）＞0，
∴F（x）在区间（1，e2）上为增函数，
从而当x∈（1，e2）时，F（x）＞F（1）=0，
即f（x）＞
故
若函数f（x）=x2-alnx，则f（x）在[1，+∞）上的最小值为______．
正确答案
1（a≤2），
解析
解：由题意，f′（x）=2x-a
故当a≤2时，在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立；
故f（x）在[1，+∞）上是增函数，
故fmin（x）=f（1）=1；
当a＞2时，f（x）在[1，
故fmin（x）=f（
故答案为：1（a≤2），
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