- 函数的最值与导数的关系
- 共6078题
已知函数f（x）=lnax-
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：a=1时，对于任意正整数n，均有1+
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．
正确答案
（Ⅰ）解：由题意
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（5分）
（Ⅱ）取a=1，由（1）知
故
取x=1，2，3，，
则
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设其中一个切点
切线方程：
设
∵x＞0，
∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）极大值=g（1）=1＞0，g（x）极小值=g（2）=ln2+
又
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在
所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．（12分）
解析
（Ⅰ）解：由题意
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（5分）
（Ⅱ）取a=1，由（1）知
故
取x=1，2，3，，
则
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设其中一个切点
切线方程：
设
∵x＞0，
∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）极大值=g（1）=1＞0，g（x）极小值=g（2）=ln2+
又
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在
所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．（12分）
当x≥3时，不等式（ax-4a+1）（x2-x-2）≥0恒成立，则a的范围是______．
正确答案
[0，1]
解析
解：x≥3时，x2-x-2=（x+1）（x-2）≥4＞0，
∴当x≥3时，不等式（ax-4a+1）（x2-x-2）≥0恒成立，等价于当x≥3时，不等式ax-4a+1≥0恒成立
①3≤x＜4，则ax-4a+1≥0可化为a≤
∵x≥3，∴4-x≤1，∴
②x=4时，ax-4a+1=1＞0，恒成立．
③x＞4时，ax-4a+1≥0，∴a≥
综上知，0≤a≤1．
故答案为：[0，1]
已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．
（1）若对任意x∈[1，+∞），f（x）+g（x）≥-x3+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：对n∈N*，不等式
正确答案
解：（1）由对任意x∈[1，+∞]，都有f（x）+g（x）≥-x3+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x2-2x，
由于x∈[1，+∞]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤
设t（x）=
求导，得t′（x）=
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，+∞]上为增函数．
所以t（x）min=t（1）=-1，所以a≤-1．
（2）由（1）得：
∴lnx≤x2-3x，
∴
∴
≥
=
=
＞
解析
解：（1）由对任意x∈[1，+∞]，都有f（x）+g（x）≥-x3+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x2-2x，
由于x∈[1，+∞]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤
设t（x）=
求导，得t′（x）=
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，+∞]上为增函数．
所以t（x）min=t（1）=-1，所以a≤-1．
（2）由（1）得：
∴lnx≤x2-3x，
∴
∴
≥
=
=
＞
已知x=3是函数f（x）=（x2+ax-2a-3）e3-x的极值点．
（1）求f（x）的单调区间（用a表示）；
（2）设a＞0，g（x）=（a2+8）ex，若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜3成立，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）f′（x）=（2x+a）e3-x+（x2+ax-2a-3）（-1）e3-x=[-x2+（2-a）x+3a+3]e3-x=-[x2+（a-2）x-3（a+1）]e3-x=-（x-3）[x+（a+1）]e3-x…（3分）
∵x=3是函数f（x）的极值点
∴-（a+1）≠3即a≠-4
（i）当-（a+1）＜3即a＞-4时
当x∈（-∞，-a-1]和[3，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（-a-1，3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（5分）
（ii）当-（a+1）＞3即a＜-4时
当x∈（-∞，3]和[-a-1，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（3，-a-1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（7分）
（2）∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴当x∈[0，3]时f（x）单调递增，当x∈[3，4]时f（x）单调递减
∴当x∈[0，4]时，fmax（x）=f（3）=a+6…（9分）
∵g（x）=（a2+8）ex在x∈[0，4]时是增函数，gmin（x）=g（0）=a2+8…（11分）
又∵
∴gmin（x）＞fmax（x），∴当x∈[0，4]时，g（x）＞f（x）恒成立．
∴若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜3
只要gmin（x）-fmax（x）＜3即可…（14分）
即
所以a的取值范围为
解析
解：（1）f′（x）=（2x+a）e3-x+（x2+ax-2a-3）（-1）e3-x=[-x2+（2-a）x+3a+3]e3-x=-[x2+（a-2）x-3（a+1）]e3-x=-（x-3）[x+（a+1）]e3-x…（3分）
∵x=3是函数f（x）的极值点
∴-（a+1）≠3即a≠-4
（i）当-（a+1）＜3即a＞-4时
当x∈（-∞，-a-1]和[3，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（-a-1，3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（5分）
（ii）当-（a+1）＞3即a＜-4时
当x∈（-∞，3]和[-a-1，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（3，-a-1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（7分）
（2）∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴当x∈[0，3]时f（x）单调递增，当x∈[3，4]时f（x）单调递减
∴当x∈[0，4]时，fmax（x）=f（3）=a+6…（9分）
∵g（x）=（a2+8）ex在x∈[0，4]时是增函数，gmin（x）=g（0）=a2+8…（11分）
又∵
∴gmin（x）＞fmax（x），∴当x∈[0，4]时，g（x）＞f（x）恒成立．
∴若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜3
只要gmin（x）-fmax（x）＜3即可…（14分）
即
所以a的取值范围为
已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ）
Ay=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
By=f（x）的图象关于x=
Cf（x）的最大值为
Df（x）既是奇函数，又是周期函数
正确答案
解析
解：
A、因为f（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；
B、因为f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=
C、f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1-sin2x）=2sinx-2sin3x，令t=sinx∈[-1，1]，则y=2t-2t3，t∈[-1，1]，则y′=2-6t2，令y′＞0解得
D、因为f（-x）+f（x）=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：C．
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