热门试卷

由题意得z1==2+3i，

于是|z1-|=|4-a+2i|=，|z1|=.＜，

得a2-8a+7＜0，1＜a＜7．

（1）当复数的虚部x-1=0，即 x=1时，复数为实数．

（2）当复数的实部等于零且虚部不等于零，即 ，即 x=-2时，复数为纯虚数．

原方程化简为|z|2+（z+）i=1-i，

设z=x+yi（x、y∈R），代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i，

∴x2+y2=1且2x=-1，解得x=-且y=±，

∴原方程的解是z=-±i．

设z=a+bi，（a，b∈R且a≠0，b≠0），（2分）

则z+=a++(b-)i（6分）

由已知得z+∈R，

∴b-=0      （8分）

∴a2+b2=1（10分）

∴|z|=1            （12分）

===，因为为纯虚数，

所以3a-8=0，得a=，且6+4×≠0，所以a=满足题意，故z1=+2i．

（I）∵复数z=（1-m2）+（m2-3m+2）i，其中m∈R，若复数z=0，

则有 1-m2 =0，且m2-3m+2=0，解得 m=1．

（II）若复数z为纯虚数，则有1-m2 =0，且m2-3m+2≠0，解得 m=-1．

（III）若复数z在复平面上所表示的点在第三象限，则有1-m2 ＜0，且m2-3m+2＜0，

解得 1＜m＜2．

（1）z为实数，则虚部m2-2m=0，

可得，

解得m=2，

∴m=2时，z为实数．

（2）z为虚数，则虚部m2-2m≠0，且m≠0，

解得m≠2且m≠0．

当m≠2且m≠0时，z为虚数．

（3）z为纯虚数，则，

解得m=-3，

∴当m=-3时，z为纯虚数．

设|z|=r．若a＜0，则z2=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r-a．

由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．

解得r=1+（r=1-＜0，不合，舍去）．故z=±（1+）i．

若a≥0，对r作如下讨论：

（1）若r≤a，则z2=a-2|z|≥0，于是z为实数．

解方程r2=a-2r，得r=-1+（r=-1-＜0，不合，舍去）．

故z=±（-1+）．

（2）若r＞a，则z2=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数．

解方程r2=2r-a，得r=1+或r=1-（a≤1）．

故z=±（1±）i（a≤1）．

综上所述，原方程的解的情况如下：

当a＜0时，解为：z=±（1+）i；

当0≤a≤1时，解为：z=±（-1+），z=±（1±）i；

当a＞1时，解为：z=±（-1+）．

（1）z是纯虚数当且仅当，解之可得，m=3；

（2）由可得，

所以当-1＜m＜1-，或1+＜m＜3时，z对应的点位于复平面的第二象限．

（1）∵（z-2）i=a+i（a∈R）

∴z-2==1-ai，--------------------（3分）

∴z=3-ai---------------------（6分）

（2）∵z=3-ai，∴z2=（9-a2）-6ai-------------（8分）

又∵z2在第一象限，∴----------------------（10分）

解得：-3＜a＜0---------------------------------------------（14分）

（1）当m2+m-2=0，即m=-2或m=1时，z为实数；

（2）当m2+m-2≠0，即m≠-2且m≠1时，z为虚数；

（3）当 ，解得m=，

即 m=时，z为纯虚数．

（4）令，解得 m=-2，即m=-2时，z=0．

（1）根据纯虚数的概念，需实部为0，虚部不为0．

解得m=0．    

（2）当m=0时，z1=-i．

由（3+z1） z=4+2i，即（3-i） z=4+2i，

得z===1+i