- 数系的扩充与复数的引入
- 共3884题
已知i是虚数单位，复数z=
正确答案
∵z=
=
∴
故答案为：-1-i
若复数z=（m2-5m+6）+（m-3）i是实数，则实数m=______．
正确答案
由于复数z=（m2-5m+6）+（m-3）i是实数，
∴m-3=0，∴m=3．
故答案为 3．
m取何值时，复数z=
（1）是实数；
（2）是纯虚数．
正确答案
解（1）要使复数z=
则
∴当m=5时，z是实数；
（2）要使复数z=
则
∴当m=3或m=-2时，z是纯虚数．
若（x-2008）+（x+2007）i是纯虚数，则x=______．
正确答案
若（x-2008）+（x+2007）i是纯虚数，根据复数的分类，实部x-2008=0，且虚部x+2007≠0
解得x=2008．
故答案为：2008．
正确答案
-1
略
复数z满足z（2+i）=2i-1，则复数z的实部与虚部之和为 ______．
正确答案
∵z（2+i）=2i-1，
∴z=
∴复数z的实部与虚部之和为 0+1=1，
故答案为：1．
若（a+2i）i=b+i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a+b=______．
正确答案
∵（a+2i）i=b+i，∴-2+ai=b+i，∴a=1，b=-2，∴a+b=-1，
故答案为：-1．
求（1-2i）5的实部．
正确答案
∵（1-2i）5的实部是由包含i的零次方及包含i的偶次方的各项所组成，
由二项式定理知
所求之实部为C50+C52（-2i）2+C54（-2i）4=41．
若
正确答案
由题意
故答案为
设复数z1满足（1-i）z1=1+3i，z2=a-i（a∈R），（其中i为虚数单位）．若 | z1-
正确答案
z1=
z1-
由| z1-
∴（-1-a）2+1＞10…（10分）
∴a＜-4，或a＞2
故实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（2，+∞）．…（14分）
已知
正确答案
由
所以复数z的共轭复数是-1-i．
故答案为-1-i．
设虚数z满足|2z+3|=
（1）求证：|z|为定值．
（2）是否存在实数k，使
正确答案
（1）依题意，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）…2′
代入|2z+3|=
整理得：x2+y2=3，即|z|=
（2）设存在实数k，使得
则
=
=
=（
∴
∵y≠0，
∴k=±
故存在实数k且k=±
已知复数z满足z+
正确答案
因为z+
所以z-
所以z-
（1）当z∈R（z≠0）时，|z-1|+|z-3|=4，所以z=4或者z=0（舍去）；
（2）当|z|2=7时，设z=x+yi（x，y∈R），则x2+y2=7…①，
又|z-1|+|z-3|=4，由题意可知
根据①②，可得x=2， y=±
综上所述，z=2±
已知z是复数，z+i和
正确答案
（1）设z=a+bi，则z+i=a+（b+1）i
∵z+i为实数∴b=-1
∵
∴a=1则z=1-i
（2）设纯虚数m=ci则x2+x（2-i）-（3ci-1）i=0有实根
即x2+2x+3c+（1-x）i=0
∴x=1，c=-1
∴纯虚数m为-i
已知复数z=（a2+a）+（a+2）i（a∈R）．
（1）若复数z为实数，求实数a的值；
（2）若复数z的共轭复数对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）复数z=（a2+a）+（a+2）i（a∈R）
若复数z为实数，则a+2=0，所以a=-2；
（2）复数z的共轭复数是
若复数z的共轭复数对应的点在第四象限，
则
所以不等式组的解集为{a|-2＜a＜-1或a＞0}．
所以复数z的共轭复数对应的点在第四象限的实数a的取值范围是{a|-2＜a＜-1或a＞0}．
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