- 数系的扩充与复数的引入
- 共3884题
已知复数z满足Z=
正确答案
Z=
∴z对应的复平面上的点的坐标是（
∴对应点在第一象限，
故答案为：一．
设复数z=
正确答案
∵复数z=
∴a=-1，
故答案为-1．
若复数z=lg（m2-m-2）+i•lg（m+3）为虚数，则实数m取值范围为______．
正确答案
当虚部不等于0时，复数为虚数，
故当lg（m+3）≠0，且 m+3＞0，m2-m-2＞0 时，复数为虚数．
解得m∈（-3，-2）∪（-2，-1）∪（2，+∞）
故答案为（-3，-2）∪（-2，-1）∪（2，+∞）
已知2z+（2+i）为纯虚数，z•（3+4i）为实数，则z=______．
正确答案
设z=a+bi，a、b∈R，
∵2z+（2+i）为纯虚数，2z+（2+i）=2a+2+（2b+1）i，∴2a+2=0，2b+1≠0．
∵z•（3+4i）为实数，z•（3+4i）=（a+bi ）（3+4i）=3a-4b+（4a+3b）i，
∴4a+3b=0，∴a=-1，b=
故答案为：-1+
实数m取什么值时，复数z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i是
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在第三象限？
正确答案
（1）若复数z为实数，则m2-3m=0，解得m=0，或m=3．
（2）复数z为虚数，则m2-3m≠0，解得m≠0且m≠3．
（3）复数z为纯虚数，则
（4）复数z对应点在第三象限，则
已知复数z满足z（1-2i）=5（i为虚数单位），则z=______．
正确答案
∵（1-2i）z=5，
∴z=
故答案为：1+2i．
实数m取什么数值时，复数z=m2-1+（m2-m-2）i分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．
正确答案
（1）∵复数z=m2-1+（m2-m-2）i是实数，
∴m2-m-2=0，
∴m=-1．m=2
（2）复数z=m2-1+（m2-m-2）i是虚数，
∴m2-m-2≠0
∴m≠-1．m≠2
（3）复数z=m2-1+（m2+3m+2）i是纯虚数
∴m2-m-2≠0且m2-1=0
∴m=1．
i表示虚数单位，则1+i+i2+…i2013= ．
正确答案
1+i+i2+…i2013=
故答案为 1+i．
如果复数
正确答案
∵
∵实部和虚部互为相反数，
∴
∴
∴b=0，
故答案为：0
已知z∈C，z+2i 和
（1）求复数z；
（2）若复数（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．
正确答案
（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，
∵z+2i 和
（2）由（1）知z=4-2i，∴（z+ai）2=[4+（a-2）i]2=16-（a-2）2+8（a-2）i，
∵（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，∴
即
若2-2i3=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b=______．
正确答案
∵2-2i3=a+bi，∴2+2i=a+bi，∴a=2且b=2．
∴a+b=4．
故答案为：4．
若复数z满足：（2+i）z为纯虚数，且z-2的模等于2，求复数z．
正确答案
设z=a+bi（a，b∈R）（2分）
因为（2+i）z=（2a-b）+（a+2b）i为纯虚数（5分）
所以
解得
故复数z=
实数x取何值时，复数z=（x2+x-2）+（x2+3x+2）i是实数？是虚数？是纯虚数？
正确答案
令x2+x-2=0，解得x=-2，x=1；
令x2+3x+2=0，解得x=-2，x=-1．
所以 当x=-2或x=-1时，复数z是实数；
当x≠-2且x≠-1时，复数z是虚数；
当x=1时，复数z是纯虚数．
已知复数z=(2+i)m2-
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数； ②虚数；③纯虚数；
（Ⅱ）在复平面内，若复数z所对应的点在第二象限，求m的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）复数z=（2+i）m2-
=2m2-3m-2+（m2-3m+2）i
（1）当这个数是实数时，
有m2-3m+2=0，
∴m=2 或1；
（2）当数是一个虚数，
m2-3m+2≠0，
∴m≠1 且 m≠2
（3）当数是一个纯虚数
有2m2-3m-2=0，
m2-3m+2≠0，
∴m≠2
（II）在复平面内，若复数z所对应的点在第二象限，
有
解得：-
∴m的取值范围：-
若复数z=（a+4）（a-1）+（a+4）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为______．
正确答案
∵复数z=（a+4）（a-1）+（a+4）i是一个纯虚数，
∴（a+4）（a-1）=0
（a+4）≠0，
∴a=1，
故答案为：1
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