数系的扩充与复数的引入
共3884题

数系的扩充与复数的引入
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题型：简答题

简答题

关于复数z的方程z2-(a+i)z-(i+2)=0(a∈R),证明对任意的实数a,原方程不可能有纯虚根.

正确答案

见解析

证明：假设原方程有纯虚根,令z=ni,n≠0,则有(ni)2-(a+i)ni-(i+2)=0,

整理可得-n2+n-2+(-an-1)i=0,

所以

则对于①,判别式Δ<0,方程①无解,故方程组无解,故假设不成立,

所以原方程不可能有纯虚根.

题型：填空题

填空题

如果复数（其中是虚数单位）是实数，则实数___________．

正确答案

．于是有．

题型：填空题

填空题

复数的虚部是______．

正确答案

由===1+i，

所以复数的虚部是1．

故答案为1．

题型：简答题

简答题

已知复数z=m2（1+i）-m（3+i）-6i，

（I）当实数m为何值时，z为纯虚数？

（Ⅱ）当实数m为何值时，z对应点在第三象限？

正确答案

复数z=m2（1+i）-m（3+i）-6i=（m2-3m）+（m2-m-6）i

（Ⅰ）；解得m=0，复数是纯虚数．

（Ⅱ）若z所对应点在第三象限则，解得0＜m＜3．

题型：填空题

填空题

复数的实部是______．

正确答案

复数===-+

它的实部是：-

故答案为：-

题型：填空题

填空题

满足复数在复平面上的对应点的轨迹是

（注意仅回答轨迹类型不给分）

正确答案

以和对应的点为端点的线段

略

题型：简答题

简答题

已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：（Ⅰ）点对应的复数；（Ⅱ）平行四边形的面积．

正确答案

（Ⅰ）点C对应的复数为，点D对应的复数为5（Ⅱ）7

（1）∵向量对应的复数为，向量对应的复数为，

∴ 向量对应的复数为（）-（）=．

又，∴点C对应的复数为（）+（）=．

又 =（）+（）=，，

∴ ，∴点D对应的复数为5．

（2） ∵ ，

∴ ，∴．

∴平行四边形的面积为7．

本题也可用底乘高求解或作等积变形.

题型：填空题

填空题

复数z=2+bi3（b∈R），对应的点在直线y=x+1上，则b=______．

正确答案

∵复数z=2+bi3=2-bi

∴=2+bi，

∴对应的点的坐标是（2，b），

∵对应的点在直线y=x+1上，

∴b=2+1

∴b=3，

故答案为：3

题型：简答题

简答题

已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。

正确答案

解：（4分）

设，则，（12分）

∵ ，∴ （12分）

题型：简答题

简答题

设复数z=(1-i)5，求z的模和辐角的主值．

正确答案

∵(1-i)5=25(-i)5=32(cosπ+isinπ)5=32(cosπ+isinπ)

=32(cos+isin)

∴复数z的模为32，的模和辐角的主值为.

题型：填空题

填空题

复数Z=的虚部是______．

正确答案

∵复数Z====--i，

∴复数的虚部是-1，

故答案为：-1

题型：填空题

填空题

若z=sinθ-+i(cosθ-)是纯虚数，则tanθ的值为______．

正确答案

∵z=sinθ-+i(cosθ-)是纯虚数，

∴sinθ-=0，

cosθ-≠0，

∴sinθ =，cosθ≠，

∴cosθ=-，

∴tanθ=-，

故答案为：-

题型：填空题

填空题

复数i2000=______．

正确答案

复数i2009=i4×500=i0=1

故答案为：1

题型：简答题

简答题

（14分）已知复数满足．

（1）求复数；（2）为何值时，复数对应点在第一象限．

正确答案

（1）

（2）

（1）先设出复数，然后利用题目条件列出关于复数实部和虚部的方程，最后求解复数；（2）利用复数的几何意义及点所在的象限列出关于a 的不等式，再利用不等式知识求解即可

解：（1）由已知得，∴．

（2）由（1）得，∵复数对应点在第一象限，∴，解得．

题型：填空题

填空题

若,为虚数单位), 则= ．

正确答案

试题分析：本题利用复数相等的定义解题．．

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