热门试卷

（1）由题意可知，，，，

∴

（2）先用反证法证明：

若

则，∴

同理可知，∴

由题目所有数和为

即

∴

与题目条件矛盾

∴。

易知当时，存在

∴的最大值为1

（3）的最大值为.

首先构造满足的：

，

.

经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

，

，

.

下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.

由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.

设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此

，

故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为。

（1）证明：取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，

∵AB=AC，∴AO⊥BC

∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC

∴AO⊥平面BB1C1C

同理A1O1⊥平面BB1C1C，∴AO∥A1O1，∴A、O、A1、O1共面

∵OO1⊥BC，AO⊥BC，OO1∩AO=O，∴BC⊥平面OO1A1A

∵AA1⊂平面OO1A1A，∴AA1⊥BC；

（2）解：延长A1O1到D，使O1D=OA，则∵O1D∥OA，∴AD∥OO1，AD=OO1，

∵OO1⊥BC，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1，

∴OO1⊥面A1B1C1，

∵AD∥OO1，

∴AD⊥面A1B1C1，

∵AD=BB1=4，A1D=A1O1+O1D=2+1=3

∴AA1==5；

（3）解：∵AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角

在直角△OO1A1中，A1O=

在直角△OAA1中，cos∠AOA1=﹣

∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为﹣。