导数与积分_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．设定义在上的函数满足，，则（）

A有极大值，无极小值

B有极小值，无极大值

C既有极大值，又有极小值

D既无极大值，也无极小值

正确答案

D

解析

f(x)的定义域为

因为

所以

所以所以

所以

所以f(x)在区域内单调递增，所以既无极大值也无极小值

考查方向

利用导数求函数的极值

解题思路

先求定义域，然后求导，然后判断函数单调性

然后求出函数的极值

易错点

求导错误，判断极值时错误

教师点评

有极大值不一定有最大值，有最大值也不一定有极大值

知识点

导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数.

25.当时，证明：；

26.当，且时，不等式成立，求实数k的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

令．

，则在上是增函数．

故，即命题结论成立

解析

参见答案，注意适当的放缩不等式。

考查方向

不等式、函数、导数结合题，利用导数判断函数的单调性，进而证明不等式

解题思路

先构造正确的函数，然后对函数求导，求导后求出函数的单调区间，利用函数的单调性证明不等式。

易错点

不能够造出正确的函数，求导错误，算单调区间错误。

教师点评

本题的关键在于构造出正确的函数，然后求导利用函数单调性方可证明不等式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，，;
当时，，

所以，原不等式可化为．

令．

令

当时，有．

令，则，故在上是减函数，即．

因此在上是减函数，从而，

所以，当时，对于，有

当时，有．

令，则，故在上是增函数，即．

因此，在上是减函数，从而，．

所以，当时，对于有

综上，当时，在，且时，不等式成立．

解析

详见答案，构造不等式函数时要适当

考查方向

函数导数不等式的综合题，不等式恒成立求参数的取值范围

解题思路

根据x的不同取值，将不等式化简变形，够造出新的函数，然后求导判断单调区间，利用单调性证明不等式，利用不等式恒成立，再讨论参数K的取值范围。

易错点

分类讨论有重复或有遗漏，计算错误。判断函数符号错误

教师点评

主要是构造出正确的不等式（函数）形式，本题的难点在于分类讨论时，要综合考虑所有的情况。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数，直线为曲线的切线．

25.求实数的值；

26.用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（1）对求导得，

设直线与曲线切于点，则

，

解得．所以的值为1．

考查方向

导数的几何意义利用导数求曲线的切线

解题思路

对求导得到导函数，然后联立方程，求解方程，进而得到参数的值

易错点

求导错误，想不到利用导数求曲线的切线

教师点评

导数是求曲线的切线的一个工具

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（2）记函数，下面考察函数的符号．

对函数求导得．

当时恒成立．

当时，，

从而．

∴在上恒成立，故在上单调递减．

∵，∴．

又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知

惟一的，使

∴．

∴，

从而

∴

由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．

①当时，在上恒成立，即在上恒成立．

记，则，

当变化时，，变化情况如下表：

∴．

故“在上恒成立”只需，即．

②当时，，当时，在上恒成立．

综合（1）（2）知，当时，函数为增函数．

故实数的取值范围是．

考查方向

导数与函数的综合题，利用导数求函数的单调性

利用函数和导数证明不等式

解题思路

先利用导数判断函数的单调性及单调区间，利用函数的零点存在性定理及其单调性，分类讨论x的不同取值，进而判断实数C的取值范围

易错点

计算能力弱，求导错误，不能构造出恰当的函数

教师点评

这类题根据题意和已知条件，按逻辑分类讨论相关参数的值，最后综合所有出现的可能情况，得到答案

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数（其中为常数且）在处取得极值．

24.当时，求的极大值点和极小值点；

25.若在上的最大值为1，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中aR.

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得f(x) ＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).

正确答案

知识点

导数的几何意义不等式的性质不等式的应用不等式恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数，（为常数）.

25.当时，求函数的单调区间；

26.若对任意恒成立，求实数的取值范围；

27.若，，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，，，得.

由，解得，即在上单调递增；

由，解得，即在上单调递减.

∴综上，的单调递增区间为，单调递减区间为

解析

当时，，，得.

由，解得，即在上单调递增；

由，解得，即在上单调递减.

∴综上，的单调递增区间为，单调递减区间为

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数的单调区间问题，属于常规性问题。

解题思路

首先将代入解析式中，然后求出导函数，解不等式和即可求得单调区间。

易错点

本题容易因含有对数的超越不等式不会解而导致结果算不出来。

教师点评

本题属于常规性问题，在每一年的高考中都会考到，需要考生加强这一类问题的训练。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

已知，于是变形为，

从而，即，整理得.

令，则，即在上是减函数，

∴，令，则，

当时，，即此时单调递增；当时，，即此时单调递减，

而，∴，∴

解析

已知，于是变形为，

从而，即，整理得.

令，则，即在上是减函数，

∴，令，则，

当时，，即此时单调递增；当时，，即此时单调递减，

而，∴，∴

考查方向

本题主要考查了导数的应用，通过求最值来解决不等式恒成立的问题。

解题思路

首先将问题转化为求函数的最值的问题，然后在利用导数予以解决。

易错点

本题在对恒成立问题的分析中容易产生错误的理解而导致出错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

由（1）知，当时，在上是增函数，

∵，∴，

即，同理，

，

又因为，当且仅当时，取等号，，，，

∴，∴，∴.

解析

由（1）知，当时，在上是增函数，

∵，∴，

即，同理，

，

又因为，当且仅当时，取等号，，，，

∴，∴，∴.

考查方向

本题考查了导数的应用以及不等式的证明。

解题思路

首先根据函数的单调性予以放缩，再利用放缩法予以证明。

易错点

本题容易因为放缩法掌握不清楚而导致出现错误。

教师点评

本题属于不等式的证明问题，难度较大，考生需要有足够的知识储备和应变能力。

1

题型：简答题

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单选题

根据《中华人民共和国广告法》，不得发布广告的药品为

A．人血白蛋白
B．氨茶碱
C．可待图片
D．狂犬疫苗
E．龙胆泻肝九

正确答案

C

解析

禁止发布广告的药品包括：麻醉药品、精神药品、医疗用毒性药品、放射性药品。可待因片属于麻醉药品，故选C。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

正确答案

（1）由题意知，点，的坐标分别为，．

将其分别代入，得，

解得．

（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，

设在点处的切线交，轴分别于，点，，

则的方程为，由此得，．

故，．

②设，则．令，解得．

当时，，是减函数；

当时，，是增函数．

从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，

此时．

答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数解析式的求解及常用方法导数的几何意义导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

19.已知函数。

（1）试讨论的单调性；

（2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。

正确答案

（1），令，解得，．

当时，因为（），所以函数在上单调递增；

当时，时，，时，，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减；

当时，时，，时，，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个

零点等价于，从而或．

又，所以当时，或当时，．

设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是

，则在上，且在上均恒成立，

从而，且，因此．

此时，，

因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，

所以，且，

解得．

综上．

解析

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知识点

导数的几何意义导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则P的坐标为（）

正确答案

（1,1）

解析

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知识点

导数的几何意义两条直线垂直的判定

热门试卷

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