导数与积分_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.设函数是函数的导函数，，且，则（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

：有题意知导函数于原函数之间没有用变量x联系，可知函数与有关，可构造函数为，根据定积分得原函数函数，确定c=2，，即，，解得，故选D

考查方向

本题主要考察导数的四则运算，特殊函数导数的性质，以及根据性质构造函数

解题思路

该题隐含突破点在于

1构造

2根据定积分得原函数函数，确定c值，

3解指数不等式得出结果

易错点

本题易错于函数的构造过程，

知识点

导数的运算其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．函数是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＜0时，，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（　　）

A（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

B（﹣1，0）∪（1，+∞）

C（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

D（﹣1，0）∪（0，1）

正确答案

B

解析

考查方向

本题主要考查函数奇偶性，单调性及导函数运算和性质，不等式解法，数形结合思想的应用等知识,意在考查考生运算求解能力、分析问题和解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数单调性、周期性、对称型、奇偶性等知识点交汇命题，较难。

解题思路

1、根据题意构造函数g（x）=xf（x）再得到函数g（x）的单调区间。

2、根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数，将不等式进行转化，由图象求出不等式成立时x的取值范围即可。

易错点

1、本题由得不到函数模型，导致题目无法进行。

知识点

函数单调性的性质导数的运算其它不等式的解法

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

18．已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解．

（其中）

正确答案

（Ⅰ）函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为

（Ⅱ）见解析

解析

（Ⅰ）因为,

所以，

当时，．

令，

得，

所以随的变化情况如下表：

所以在处取得极大值，在处取得极小值．

函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为．

（Ⅱ）证明：不等式在区间上无解，

等价于在区间上恒成立，

即函数在区间上的最大值小于等于1．

因为，

令，得．

因为时，所以．

当时，对成立，

函数在区间上单调递减，

所以函数在区间上的最大值为,

所以不等式在区间上无解；

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在区间上的最大值为或．

此时,，

所以

．

综上，当时，关于的不等式在区间上无解。

考查方向

本题主要考察了用导数解决函数的单点区间和极值的问题，属于中档题，是高考的热点，解决此类题的关键：

1、（1）确定函数y＝f(x)的定义域；

（2）求导数y′＝f′(x)；

（3）解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2、当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值。

易错点

1、导数为零的点不一定是极值点。

2、本题对k的分类讨论不全面导致错误。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算不等式的证明

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．已知函数f（x）＝－cosx，则f（x）在[0，2π]上的零点个数为

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

由图可知，2个函数图像有3个交点。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查函数图像及零点

解题思路

1、分别画出2个函数图像；

2、求出交点个数，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在画图时发生错误。

知识点

函数零点的判断和求解导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知函数f（x）＝x＋，g（x）＝＋a，若∈[，1]，∈[2，3]，使得

f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是

Aa≤1

Ba≥1

Ca≤2

Da≥2

正确答案

A

解析

f（x）min=f（1）=5, g（x）min = g（2）=4+a,得a≤1。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查函数的值域

解题思路

1、求出f（x）在[，1]上的最小值，g（x）在[2,3]上的最小值；

2、求出f（x）min≥g（x）min，即可得到结果。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

易错点

本题易在判断范围大小时发生错误。

知识点

指数函数的图像与性质导数的运算不等式恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．设函数f（x）＝－mlnx，g（x）＝－（m＋1）x．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

正确答案

（1）当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是；（2）一个．

解析

⑴解：函数的定义域为，，

当时，，所以函数的单调增区间是，无减区间；

当时，；

当时，，函数的单调递减；

当时，，函数的单调递增.

综上：当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是.⑵解：令，问题等价于求函数的零点个数，当时，，有唯一零点；当时，，当时，，函数为减函数，注意到，，所以有唯一零点；当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，，所以有唯一零点；当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，意到，所以，而，所以有唯一零点. 综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.

考查方向

本题考查了利用导数求含参数的函数极值，分类讨论，讨论点大体可以分成以下几类：

1、根据判别式讨论；

2、根据二次函数的根的大小；

3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；

4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；

5、多次求导求解等．

解题思路

1、求导，然后解导数不等式，求单调区间。

2、对参数分类讨论得结论。

易错点

第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

函数的单调性及单调区间函数零点的判断和求解导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

A

B

C

D

正确答案

A

知识点

函数奇偶性的性质导数的运算其它不等式的解法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

正确答案

知识点

函数单调性的判断与证明导数的运算不等式恒成立问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．正项等比数列{}中的a1、a4031是函数f（x）＝＋6x－3的极值点，则

A1

B2

C

D－1

正确答案

A

解析

。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查极值和数列、对数运算

解题思路

1、求出a1,a4031；

2、求出a2016，即可得到结果。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

易错点

本题易在求a2016时发生错误。

知识点

对数的运算性质导数的运算等比数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20.已知函数，直线.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；

（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.

正确答案

（Ⅰ）所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅲ）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.。

解析

（Ⅰ）解：函数定义域为，

求导，得，

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，

所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，

设切点为，又因为，

所以切线满足斜率，且过点，

所以，

即，此方程显然无解，

所以假设不成立．

所以对于任意，直线都不是曲线的切线.

（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由方程，得.

令，则，其中，且.

考察函数，其中，

因为时，

所以函数在单调递增，且.

而方程中，，且.

所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，

故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.

考查方向

本题以导数性质的应用为背景，通过考查导数的几何意义即切线斜率，函数极值、判断函数图像与直线交点个数为载体，对学生综合运用函数与方程的思想、运用导数解决函数相关问题的能力进行较为全面的考查。为历届高考命题焦点，很好地体现了高考命题的精神和方向。

解题思路

1、第一问写出函数的定义域，求出导数，然后令导数等于零解方程，列表求极值。

2、第二问直接不易证明，可考虑使用反证法：假设存在某个，使得直线与曲线相切，然后可设出切点，利用切点处导数值为斜率与已知直线方程建立联系，从而推出矛盾进而得到证明。

3、判断曲线与直线的交点个数问题可以考虑通过函数的极值与直线的相对位置关系以及函数图像的特点采用数形结合的方法判断交点个数；也可以转化为方程判断根的个数进而确定图像交点的个数。由第一问可看出图像较复杂，采用数形结合的办法不容易解决，于是可考虑转化为判断方程根的个数来解决问题，通过分离参数k进一步转化为根的个数问题，再通过换元、构造新函数，根据其特点即可逐步解决问题。

易错点

第一问中不交待极大值不存在而失分或未考虑函数的定义域而出错；

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义导数的运算

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正确答案

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