导数与积分_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知.

（1）记在区间上的最大值为，求的表达式；

（2）是否存在a，使函数在区间（0，9）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

函数解析式的求解及常用方法函数的最值及其几何意义导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数满足如下条件：当时，，且对任意，都有。

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求当，时，函数的解析式；

（3）是否存在，，使得等式

成立？若存在就求出（），若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）时，，，

所以，函数的图象在点处的切线方程为

，即。

（2）因为，

所以，当，时，，

。

（3）考虑函数，，，

则，

当时，，单调递减；

当时，；

当时，，单调递增；

所以，当，时，，

当且仅当时，。

所以，

而，

令，则，

两式相减得，

。

所以，，

故。

所以，。

当且仅当时，

。

所以，存在唯一一组实数，，

使得等式成立。

知识点

函数解析式的求解及常用方法导数的几何意义错位相减法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数（为常数）。

（1）函数的图象在点（）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；

（2）若，、使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（3）当时，若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数，，都有

成立，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵，∴，，

∴函数的图象在点（）处的切线方程为，

∵直线与函数的图象相切，由消去y得，

则，解得-

（2）当时，∵，

∴，-

当时，，∴在上单调递减，

，-

则，

∴,故满足条件的最大整数.-

（3）不妨设，∵函数在区间[1,2]上是增函数，∴，

∵函数图象的对称轴为，且，∴函数在区间[1,2]上是减函数，

∴，-

∴等价于，

即，

等价于在区间[1,2]上是增函数，

等价于在区间[1,2]上恒成立，

∴，又，∴.-

知识点

函数单调性的性质函数的最值及其几何意义导数的几何意义

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为，则___________.

正确答案

2

解析

求导得，所以在点处的切线方程为.令得，令得，所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积，（舍去负值），.

知识点

对数的运算性质导数的几何意义

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知正数满足，，则的取值范围是______。

正确答案

解析

略

知识点

导数的几何意义

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

设曲线在处的切线与抛物线在

的部分有两个交点，则实数的取值范围是，

正确答案

见解析

解析

，易知曲线在处的切线的斜率为，切点为，于是切线的方程为：，如13题解析图所示，切线应介于和平行的直线、之间，其中直线过点，直线和抛物线在的部分即弧相切，

易知直线的方程为：，

直线的方程为：，

故应有：，即，故应填或。

知识点

导数的几何意义直线与抛物线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数，下列命题：

①函数的图象关于原点对称； ②函数是周期函数；

③当时,函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）

A①③

B②③

C①④

D②④

正确答案

C

解析

略

知识点

导数的几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

直线与曲线相切时，a=

A

B1

C

D2

正确答案

D

解析

略

知识点

导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数，其中且.

（1）讨论的单调性；

(2) 若不等式恒成立，求实数取值范围；

（3）若方程存在两个异号实根，，求证：

正确答案

见解析。

解析

(１)的定义域为.

其导数

①当时,,函数在上是增函数;

②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,。

所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数.

(２)当时, 则取适当的数能使，比如取，

能使, 所以不合题意

当时，令,则

问题化为求恒成立时的取值范围.

由于

在区间上,;在区间上,.

的最小值为,所以只需

即,,

(3)由于存在两个异号根，不仿设，因为,所以

构造函数:()

所以函数在区间上为减函数. ,则,

于是,又,,由在上为减函数可知.即

知识点

函数单调性的判断与证明导数的几何意义导数的运算不等式恒成立问题不等式与函数的综合问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

曲线在处的切线方程为 ▲ .

正确答案

解析

略

知识点

导数的几何意义导数的运算

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