热门试卷

由于空间向量 =（2，-y，2），=（4，2，x），

则=（2，-y，2），=（4，2，x），|a→|2=y2+8，||2=x2+20，所以||2+||2=x2+y2+28=44⇒x2+y2=16

又由⊥得•=x-y+4=0，联立两方程得到

解得：或．

解：（1）设BD=x，则CD=3-x

∵∠ACB=45°，AD⊥BC，

∴AD=CD=3-x

∵折起前AD⊥BC，

∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D

∴AD⊥平面BCD

∴VA-BCD= ×AD×S△BCD= ×（3-x）× ×x（3-x）= （x3-6x2+9x）

设f（x）= （x3-6x2+9x）  x∈（0，3），

∵f′（x）= （x-1）（x-3），

∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数

∴当x=1时，函数f（x）取最大值

∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大。

（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，

由（1）知，三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2

∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（，1，0），

且=（-1，1，1）设N（0，λ，0），

则=（-，λ-1，0）

∵EN⊥BM，

∴·=0

即（-1，1，1）（-，λ-1，0）=+λ-1=0，

∴λ=，

∴N（0，，0）

∴当DN=时，EN⊥BM

设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），

由及=（-1，，0）得，

取=（1，2，-1）

设EN与平面BMN所成角为θ，

则=（-，，0）

sinθ=|cos＜，＞|=||==

∴θ=60°

∴EN与平面BMN所成角的大小为60°

。

解：取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得

（1）设，则，得，

∵FD⊥AC1．

∴

即

解得λ=1，即．

（2）设平面FAC1的一个法向量为n1=（x1，y1，1）

∵=（1，1，），

由得，

又由，得，

∴

∴=（，，1）

仿上可得平面ACC1的一个法向量为．

∵=﹣×+0+1×1=0

∴⊥．故二面角F﹣AC1﹣C的大小为90°．

（3）设平面AFC的一个法向量为，

由得x+y﹣=0

又=（﹣1，0，﹣），

由得．

解得，

∴=（﹣，2，1）

所以C1到平面AFC的距离为=．

解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）

（I）则 =（0，3，4）， =（﹣8，0，0）

由此可得 · =0

∴ ⊥  即AP⊥BC

（II）设 =λ ，λ≠1，

则 =λ（0，﹣3，﹣4）  = + = +λ =（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）  =（﹣4，5，0）， =（﹣8，0，0）

设平面BMC的法向量 =（a，b，c）

则   

令b=1，则 =（0，1， ）

平面APC的法向量 =（x，y，z）则  即 

令x=5 则 =（5，4，﹣3）

由 =0 得4﹣3 =0

解得λ=  故AM=3

综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3