热门试卷

（1）证明以为x轴，为y轴，A为z轴，建立空间直角坐标系，

设E为BD的中点，

∵P﹣ABCD是正四棱锥，

∴PE⊥平面ABCD，

∵，

∴PE=2，

∴P（1，1，4），

∴，，

∴，

故PA⊥．

（2）解：设平面PAD的法向量，

∵，，

∴，

∴．

∵平面BD的法向量，

∴cos＜＞==﹣，

∴=．

（3）解：∵，

∴到平面PAD的距离d==．

解：2a+3b=2（3，5，-4）+3（2，1，8）

=（12，13，16）

3a-2b=3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（5，13，-28）

a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21

=-4λ+8μ=0.

故只要λ、μ满足-4 λ+8 μ=0 即可使λa+ μb 与z轴垂直．

解：设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连结A1O，

在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°，

所以A1O2=AA12+AO2-2AA1·AOcos60°=3，

所以AO2+A1O2=AA12，所以A1O⊥AO。

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，

所以A1O⊥平面ABCD。

以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

 （Ⅰ）由于，

，

∴；

（Ⅱ）由于OB⊥平面，

∴平面的一个法向量为，

设，则，

设，则，

取，

∴，

所以，二面角D-A1A-C的平面角的余弦值为。

（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，

设，P（x，y，z），

则，

从而有，

设，则，

又，

设，则，取，

因为BP∥平面DA1C1，则，即，

得，即点P在C1C的延长线上，且。

解：（I）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设AB=1，则PA=AD=2，

又设|AE|=y，则：=（1，2，﹣2），

由=0，可得﹣1+2y=0，∴，

又∵，∴，∴λ=

（II）由（I）知面PAC的法向量为

又因为

设PB与面PAC所成的角为α，

则：

∵∴PB所求PB与面PAC所成的角的大小为：