- 运用数量积判断空间向量的垂直
- 共67题
已知=(2,-1,3),
=(-4,2,x),
=(1,-x,2),
(1)若∥
,求x的值;
(2)若(+
)⊥
,求x的值.
正确答案
(1)∵∥
,∴存在实数λ使
=λ
即-4=2λ,2=-λ,x=3λ,∴λ=-2,x=-6.
(2)+
=(2-4,-1+2,3+x)=(-2,1,3+x),
又∵(+
)⊥
,∴(-2)•1+1•(-x)+(3+x)•2=0,∴x=-4.
已知向量=(1,-3,2)和
=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2+
|;
(2)在直线AB上是否存在一点E,使⊥
(O为原点),若存在,求出E点坐标;若不存在,说明理由.
正确答案
(1)∵2+
=2(1,-3,2)+(-2,1,1)=(0,-5,5),∴|2
+
|=
=5
;
(2)假设在直线AB上存在一点E,使⊥
(O为原点),则存在实数λ,使得
=λ
,
∴=
+λ
=(-3,-1,4)+λ(1,-1,-2)=(-3+λ,-1-λ,4-2λ),
∴•
=-2(-3+λ)+(-1-λ)+(4-2λ)=0,解得λ=
.
∴=(-
,-
,
),即E(-
,-
,
).
故在直线AB上存在一点E(-,-
,
),使
⊥
(O为原点).
已知:=(x,4,1),
=(-2,y,-1),
=(3,-2,z),
∥
,
⊥
,求:
(1),
,
;
(2)(+
)与(
+
)所成角的余弦值.
正确答案
(1)∵∥
,∴
=
=
,解得x=2,y=-4,
故=(2,4,1),
=(-2,-4,-1),
又因为⊥
,所以
•
=0,即-6+8-z=0,解得z=2,
故=(3,-2,2)
(2)由(1)可得+
=(5,2,3),
+
=(1,-6,1),
设向量+
与
+
所成的角为θ,
则cosθ==-
已知=(3,1,5),
=(1,2,-3),若
•
=9,
•
=-4.
(1)若向量垂直于空间直角坐标系的z轴,试求
的坐标;
(2)是否存在向量,使得
与z轴共线?试说明理由.
正确答案
(1)设=(x0,y0,z0),设z轴上一点为(0,0,a)(a≠0),则由题意得:
,
解得,即
=(
,-
,0).
(2)令设=(x1,y1,z1),设z轴上一点为(0,0,a)(a≠0),则由题意,
知(x1,y1,z1)=λ(0,0,a)=(0,0,λa)(a≠0),
所以x1=0,y1=0,z1=λa,即=(0,0,λa)(a≠0),
又•
=9,
•
=-4,即
⇒
,显然矛盾.
∴不存在满足题意的向量,使得
与z轴共线.
已知向量=(4,3),
=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足P=λ
(λ∈R),求y与λ的值.
正确答案
(1)设B(x,y).∵A(-1,-2),
∴=(x+1,y+2)=(4,3),
∴,解得
即B(3,1).
同理可得D(-4,-3).
∴线段BD的中点M的坐标为(-,-1),
(2)∵=(1,1-y),
=(-7,-4),
∴由=λ
得(1,1-y)=λ(-7,-4),
∴解得y=,λ=-
.
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