- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．
求证：DE•DC=AE•BD．
正确答案
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，∠EAD=∠ABC，∠DAC=∠ACB，∠DBC=∠ACB．
∴∠EAD=∠DCB．
∵AC∥ED，∴∠EDA=DAC，
∴∠EDA=∠DBC．
∴△ADE∽△CBD．
∴
∴DE•DC=AE•BD．
解析
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，∠EAD=∠ABC，∠DAC=∠ACB，∠DBC=∠ACB．
∴∠EAD=∠DCB．
∵AC∥ED，∴∠EDA=DAC，
∴∠EDA=∠DBC．
∴△ADE∽△CBD．
∴
∴DE•DC=AE•BD．
在▱ABCD的对角线BD的延长线上取点E，F，使BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
正确答案
证明：连接A、C，设AC与BD交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
解析
证明：连接A、C，设AC与BD交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵
又∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，相似比是2：3，面积的比是4：9
设△ADE的面积是4a，则△ABC的面积是9a，四边形DBCE的面积是5a
∴△ADE与四边形DBCE的面积的比是
故选：C．
正确答案
解析
解：由题意，∠A=∠B，AE=EB，∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED，
∴CE=DE，
故选：C．
正确答案
1
解析
解：由E，F是AC的三等分点，且∠A=∠A，
得：△AME∽△ABC，△ANF∽△ABC，
因而
得到：
解得ME=
则ME+NF=1．
故答案为：1．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H．
则BG=FH=CD=2，
∴EH=EF-FH=2，AG=3，
∵AB∥EF，
∴DE：AE=2：1，
∴梯形ABFE与梯形EFDC的高的比为1：2，
∴梯形ABFE与梯形EFDC的面积比是
故选：D．
已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE．求证：MN=MB．
正确答案
证明：因为正方形ABCD，所以AE∥CD
因为MN∥AE，所以MN∥CD
所以MN：CD=EM：ED，BM：AD=EM：ED
因为在正方形里CD=AD
所以MN=BM．
解析
证明：因为正方形ABCD，所以AE∥CD
因为MN∥AE，所以MN∥CD
所以MN：CD=EM：ED，BM：AD=EM：ED
因为在正方形里CD=AD
所以MN=BM．
正确答案
解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，
因为DE∥AC，所以∠CAD=∠ADE，所以AE=DE （等腰三角形），
又因DE∥AC，EF∥BC 所以四边形CDEF为平行四边形，
因此CF=DE=AE，
因为EF∥BC，
所以
所以
所以AE=6，所以BE=9，DE=6．
解析
解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，
因为DE∥AC，所以∠CAD=∠ADE，所以AE=DE （等腰三角形），
又因DE∥AC，EF∥BC 所以四边形CDEF为平行四边形，
因此CF=DE=AE，
因为EF∥BC，
所以
所以
所以AE=6，所以BE=9，DE=6．
在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，求证：
正确答案
∵AD∥CE，∴
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△BCE中，由AD∥CE知，
∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，
∴∠ACE=∠E，∴AE=AC．
∴
故
解析
∵AD∥CE，∴
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△BCE中，由AD∥CE知，
∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，
∴∠ACE=∠E，∴AE=AC．
∴
故
正确答案
解析
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC，
而AD：AB=3：4，AE=6，
∴3：4=6：AC，
∴AC=8．
故选D．
在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则DE：BC的值为（ ）
A1：
B1：2
C1：3
D1：4
正确答案
解析
则S△ADE：S△ABC=1：4
∵DE∥BC
则△ADE∽△ABC
设相似比是k
则面积的比是k2=1：4
因而相似比是1：2
∴DE：BC=1：2．
故选：B．
正确答案
解析
解：∵EF∥AB∥DC，
∴△OAB∽△OCD，△OAE∽△CAD
∴OA：OC=AB：DC=3：4
OE：DC=OA：CA=3：7
∴EF=2×
故答案为：
正确答案
证明：取BC的中点H，连接AH，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC
∵CE⊥BD，
∴AH∥EC，
∵CD=BC
∴CD=2CH
∴DE=2AE，
取ED的中点M，连接CM
∵CE⊥BD，
∴M为ED中点，
∴ME=AE
∵C为BD 的中点，
∴CM∥BE，
∴F为AC中点．
∴AF=FC
解析
证明：取BC的中点H，连接AH，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC
∵CE⊥BD，
∴AH∥EC，
∵CD=BC
∴CD=2CH
∴DE=2AE，
取ED的中点M，连接CM
∵CE⊥BD，
∴M为ED中点，
∴ME=AE
∵C为BD 的中点，
∴CM∥BE，
∴F为AC中点．
∴AF=FC
（1）直线PQ是否能通过点M（6，1）和点N（4，5）？
（2）在△OPQ中作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．
求图中阴影部分面积的最大值并求对应的顶点A、B、C、D的坐标．
正确答案
解：（1）直线PQ方程：tx-（2t-10）y+t2-10t=0
若通过点M，则得：t2-6t+10=0，t无解
若通过点N，则得：
故：直线PQ一定不过点M，当
（2）设边长为a，则A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）
把点C坐标代人直线PQ得：t2-10t=-10a
又
由t∈（0，10）且10-t≥t知t∈（0，5]，则
故当
解析
解：（1）直线PQ方程：tx-（2t-10）y+t2-10t=0
若通过点M，则得：t2-6t+10=0，t无解
若通过点N，则得：
故：直线PQ一定不过点M，当
（2）设边长为a，则A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）
把点C坐标代人直线PQ得：t2-10t=-10a
又
由t∈（0，10）且10-t≥t知t∈（0，5]，则
故当
正确答案
4
解析
解：∵△ABC中，DE=
∴AD=BD，AE=CE
∵△ADC中，EF∥CD，AE=CE
∴AF=DF=1，得AD=2
结合AD=BD=
故答案为：4
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